Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x}{x + 3}$ ; $[- 1, 5]$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{x}{x + 3}$ como uma equação.

$y = \frac{x}{x + 3}$

Etapa 2

Substitua usando a fórmula da taxa de variação média.

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Etapa 2.1

Para encontrar a taxa de variação média de uma função, calcula-se a variação nos valores de $y$ dos dois pontos e divide-se pela variação nos valores de $x$ dos dois pontos.

$\frac{f (5) - f (- 1)}{(5) - (- 1)}$

Etapa 2.2

Substitua a equação $y = \frac{x}{x + 3}$ por $f (5)$ e $f (- 1)$ , substituindo $x$ na função pelo valor $x$ correspondente.

$\frac{(\frac{5}{(5) + 3}) - (\frac{- 1}{(- 1) + 3})}{(5) - (- 1)}$

Etapa 3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.1

Multiplique o numerador e o denominador da fração por $(5 + 3) (- 1 + 3)$ .

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Etapa 3.1.1

Multiplique $\frac{\frac{5}{5 + 3} - \frac{- 1}{- 1 + 3}}{5 - (- 1)}$ por $\frac{(5 + 3) (- 1 + 3)}{(5 + 3) (- 1 + 3)}$ .

$\frac{(5 + 3) (- 1 + 3)}{(5 + 3) (- 1 + 3)} \cdot \frac{\frac{5}{5 + 3} - \frac{- 1}{- 1 + 3}}{5 - (- 1)}$

Etapa 3.1.2

Combine.

$\frac{(5 + 3) (- 1 + 3) (\frac{5}{5 + 3} - \frac{- 1}{- 1 + 3})}{(5 + 3) (- 1 + 3) (5 - (- 1))}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(5 + 3) (- 1 + 3) \frac{5}{5 + 3} + (5 + 3) (- 1 + 3) (- \frac{- 1}{- 1 + 3})}{(5 + 3) (- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Etapa 3.3

Simplifique cancelando.

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Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum de $5 + 3$ .

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Etapa 3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(5 + 3) (- 1 + 3) \frac{5}{5 + 3} + (5 + 3) (- 1 + 3) (- \frac{- 1}{- 1 + 3})}{(5 + 3) (- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Etapa 3.3.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- \frac{- 1}{- 1 + 3})}{(5 + 3) (- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum de $- 1 + 3$ .

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Etapa 3.3.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{- 1}{- 1 + 3}$ para o numerador.

$\frac{(- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) \frac{1}{- 1 + 3}}{(5 + 3) (- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Etapa 3.3.2.2

Fatore $- 1 + 3$ de $(5 + 3) (- 1 + 3)$ .

$\frac{(- 1 + 3) \cdot 5 + (- 1 + 3) (5 + 3) \frac{1}{- 1 + 3}}{(5 + 3) (- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Etapa 3.3.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{(- 1 + 3) \cdot 5 + (- 1 + 3) (5 + 3) \frac{1}{- 1 + 3}}{(5 + 3) (- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Etapa 3.3.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{(- 1 + 3) \cdot 5 + 5 + 3}{(5 + 3) (- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Etapa 3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.1

Some $- 1$ e $3$ .

$\frac{2 \cdot 5 + 5 + 3}{(5 + 3) (- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Etapa 3.4.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{10 + 5 + 3}{(5 + 3) (- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Etapa 3.4.3

Some $10$ e $5$ .

$\frac{15 + 3}{(5 + 3) (- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Etapa 3.4.4

Some $15$ e $3$ .

$\frac{18}{(5 + 3) (- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Etapa 3.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.5.1

Some $5$ e $3$ .

$\frac{18}{8 (- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Etapa 3.5.2

Some $- 1$ e $3$ .

$\frac{18}{8 \cdot 2 \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Etapa 3.5.3

Multiplique $8 \cdot 2 \cdot 5$ .

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Etapa 3.5.3.1

Multiplique $8$ por $2$ .

$\frac{18}{16 \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Etapa 3.5.3.2

Multiplique $16$ por $5$ .

$\frac{18}{80 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Etapa 3.5.4

Some $5$ e $3$ .

$\frac{18}{80 + 8 (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Etapa 3.5.5

Some $- 1$ e $3$ .

$\frac{18}{80 + 8 \cdot 2 (- (- 1))}$

Etapa 3.5.6

Multiplique $8 \cdot 2 (- (- 1))$ .

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Etapa 3.5.6.1

Multiplique $8$ por $2$ .

$\frac{18}{80 + 16 (- (- 1))}$

Etapa 3.5.6.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{18}{80 + 16 \cdot 1}$

Etapa 3.5.6.3

Multiplique $16$ por $1$ .

$\frac{18}{80 + 16}$

Etapa 3.5.7

Some $80$ e $16$ .

$\frac{18}{96}$

Etapa 3.6

Cancele o fator comum de $18$ e $96$ .

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Etapa 3.6.1

Fatore $6$ de $18$ .

$\frac{6 (3)}{96}$

Etapa 3.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.6.2.1

Fatore $6$ de $96$ .

$\frac{6 \cdot 3}{6 \cdot 16}$

Etapa 3.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{6 \cdot 3}{6 \cdot 16}$

Etapa 3.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{16}$