Pré-cálculo Exemplos

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 15 x + 5}{x^{2} - 2 x - 8}$

Etapa 1

Divida usando a divisão polinomial longa.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$15 x$

$5$

Etapa 1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

							$2 x$
	$x^{2}$	-	$2 x$	-	$8$		$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$5$

Etapa 1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

						$2 x$
$x^{2}$	-	$2 x$	-	$8$		$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$5$
					+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$16 x$

Etapa 1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x$ .

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$15 x$

$5$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

Etapa 1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$15 x$

$5$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$x$

Etapa 1.6

Tire o próximo termo do dividendo original e o coloque no dividendo atual.

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$15 x$

$5$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$x$

$5$

Etapa 1.7

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$2 x + \frac{x + 5}{x^{2} - 2 x - 8}$

Etapa 2

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore $x^{2} - 2 x - 8$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 8$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 4, 2$

Etapa 2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{x + 5}{(x - 4) (x + 2)}$

Etapa 2.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{x - 4}$

Etapa 2.3

$\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 2}$

Etapa 2.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(x - 4) (x + 2)$ .

$\frac{(x + 5) (x - 4) (x + 2)}{(x - 4) (x + 2)} = \frac{(A) (x - 4) (x + 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 2.5

Cancele o fator comum de $x - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 5) (x - 4) (x + 2)}{(x - 4) (x + 2)} = \frac{(A) (x - 4) (x + 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 2.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(x + 5) (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x - 4) (x + 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 2.6

Cancele o fator comum de $x + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 5) (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x - 4) (x + 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 2.6.2

Divida $x + 5$ por $1$ .

$x + 5 = \frac{(A) (x - 4) (x + 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 2.7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Cancele o fator comum de $x - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.1

Cancele o fator comum.

$x + 5 = \frac{A (x - 4) (x + 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 2.7.1.2

Divida $(A) (x + 2)$ por $1$ .

$x + 5 = (A) (x + 2) + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 2.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x + 5 = A x + A \cdot 2 + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 2.7.3

Mova $2$ para a esquerda de $A$ .

$x + 5 = A x + 2 \cdot A + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 2.7.4

Cancele o fator comum de $x + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.4.1

Cancele o fator comum.

$x + 5 = A x + 2 A + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 2.7.4.2

Divida $(B) (x - 4)$ por $1$ .

$x + 5 = A x + 2 A + (B) (x - 4)$

Etapa 2.7.5

Aplique a propriedade distributiva.

$x + 5 = A x + 2 A + B x + B \cdot - 4$

Etapa 2.7.6

Mova $- 4$ para a esquerda de $B$ .

$x + 5 = A x + 2 A + B x - 4 B$

Etapa 2.8

Mova $2 A$ .

$x + 5 = A x + B x + 2 A - 4 B$

Etapa 3

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A + B$

Etapa 3.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$5 = 2 A - 4 B$

Etapa 3.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$1 = A + B$

$5 = 2 A - 4 B$

$1 = A + B$

$5 = 2 A - 4 B$

Etapa 4

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Resolva $A$ em $1 = A + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Reescreva a equação como $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$5 = 2 A - 4 B$

Etapa 4.1.2

Subtraia $B$ dos dois lados da equação.

$A = 1 - B$

$5 = 2 A - 4 B$

$A = 1 - B$

$5 = 2 A - 4 B$

Etapa 4.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $1 - B$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $5 = 2 A - 4 B$ por $1 - B$ .

$5 = 2 (1 - B) - 4 B$

$A = 1 - B$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique $2 (1 - B) - 4 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 = 2 \cdot 1 + 2 (- B) - 4 B$

$A = 1 - B$

Etapa 4.2.2.1.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$5 = 2 + 2 (- B) - 4 B$

$A = 1 - B$

Etapa 4.2.2.1.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$5 = 2 - 2 B - 4 B$

$A = 1 - B$

$5 = 2 - 2 B - 4 B$

$A = 1 - B$

Etapa 4.2.2.1.2

Subtraia $4 B$ de $- 2 B$ .

$5 = 2 - 6 B$

$A = 1 - B$

$5 = 2 - 6 B$

$A = 1 - B$

$5 = 2 - 6 B$

$A = 1 - B$

$5 = 2 - 6 B$

$A = 1 - B$

Etapa 4.3

Resolva $B$ em $5 = 2 - 6 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Reescreva a equação como $2 - 6 B = 5$ .

$2 - 6 B = 5$

$A = 1 - B$

Etapa 4.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- 6 B = 5 - 2$

$A = 1 - B$

Etapa 4.3.2.2

Subtraia $2$ de $5$ .

$- 6 B = 3$

$A = 1 - B$

$- 6 B = 3$

$A = 1 - B$

Etapa 4.3.3

Divida cada termo em $- 6 B = 3$ por $- 6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Divida cada termo em $- 6 B = 3$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{3}{- 6}$

$A = 1 - B$

Etapa 4.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{3}{- 6}$

$A = 1 - B$

Etapa 4.3.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{3}{- 6}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{3}{- 6}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{3}{- 6}$

$A = 1 - B$

Etapa 4.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.3.1

Cancele o fator comum de $3$ e $- 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.3.1.1

Fatore $3$ de $3$ .

$B = \frac{3 (1)}{- 6}$

$A = 1 - B$

Etapa 4.3.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.3.1.2.1

Fatore $3$ de $- 6$ .

$B = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot - 2}$

$A = 1 - B$

Etapa 4.3.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$B = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot - 2}$

$A = 1 - B$

Etapa 4.3.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$B = \frac{1}{- 2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{- 2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{- 2}$

$A = 1 - B$

Etapa 4.3.3.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Etapa 4.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $- \frac{1}{2}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = 1 - B$ por $- \frac{1}{2}$ .

$A = 1 - (- \frac{1}{2})$

$B = - \frac{1}{2}$

Etapa 4.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Simplifique $1 - (- \frac{1}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1.1

Multiplique $- (- \frac{1}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$A = 1 + 1 (\frac{1}{2})$

$B = - \frac{1}{2}$

Etapa 4.4.2.1.1.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$A = 1 + \frac{1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 + \frac{1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

Etapa 4.4.2.1.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$A = \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

Etapa 4.4.2.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A = \frac{2 + 1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

Etapa 4.4.2.1.4

Some $2$ e $1$ .

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

Etapa 4.5

Liste todas as soluções.

$A = \frac{3}{2}, B = - \frac{1}{2}$

Etapa 5

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $2 x + \frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 2}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$2 x + \frac{\frac{3}{2}}{x - 4} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 2}$