Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt[3]{9 (x - 9)}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \sqrt[3]{9 (x - 9)}$ como uma equação.

$y = \sqrt[3]{9 (x - 9)}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \sqrt[3]{9 (y - 9)}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\sqrt[3]{9 (y - 9)} = x$ .

$\sqrt[3]{9 (y - 9)} = x$

Etapa 3.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${\sqrt[3]{9 (y - 9)}}^{3} = x^{3}$

Etapa 3.3

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{9 (y - 9)}$ como ${(9 (y - 9))}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(9 (y - 9))}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Simplifique ${({(9 (y - 9))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(9 (y - 9))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(9 (y - 9))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Etapa 3.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(9 (y - 9))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Etapa 3.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(9 (y - 9))}^{1} = x^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

${(9 y + 9 \cdot - 9)}^{1} = x^{3}$

Etapa 3.3.2.1.3

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.3.1

Multiplique $9$ por $- 9$ .

${(9 y - 81)}^{1} = x^{3}$

Etapa 3.3.2.1.3.2

Simplifique.

$9 y - 81 = x^{3}$

Etapa 3.4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Some $81$ aos dois lados da equação.

$9 y = x^{3} + 81$

Etapa 3.4.2

Divida cada termo em $9 y = x^{3} + 81$ por $9$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Divida cada termo em $9 y = x^{3} + 81$ por $9$ .

$\frac{9 y}{9} = \frac{x^{3}}{9} + \frac{81}{9}$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9 y}{9} = \frac{x^{3}}{9} + \frac{81}{9}$

Etapa 3.4.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{9} + \frac{81}{9}$

Etapa 3.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.3.1

Divida $81$ por $9$ .

$y = \frac{x^{3}}{9} + 9$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{9} + 9$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{9} + 9$ é o inverso de $f (x) = \sqrt[3]{9 (x - 9)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{{(\sqrt[3]{9 (x - 9)})}^{3}}{9} + 9$

Etapa 5.2.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1

Reescreva ${\sqrt[3]{9 (x - 9)}}^{3}$ como $9 (x - 9)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{9 (x - 9)}$ como ${(9 (x - 9))}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{{({(9 (x - 9))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{9} + 9$

Etapa 5.2.3.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{{(9 (x - 9))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{9} + 9$

Etapa 5.2.3.1.1.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{{(9 (x - 9))}^{\frac{3}{3}}}{9} + 9$

Etapa 5.2.3.1.1.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{{(9 (x - 9))}^{\frac{3}{3}}}{9} + 9$

Etapa 5.2.3.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 (x - 9)}{9} + 9$

Etapa 5.2.3.1.1.5

Simplifique.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 (x - 9)}{9} + 9$

Etapa 5.2.3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 x + 9 \cdot - 9}{9} + 9$

Etapa 5.2.3.1.3

Multiplique $9$ por $- 9$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 x - 81}{9} + 9$

Etapa 5.2.3.1.4

Fatore $9$ de $9 x - 81$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.4.1

Fatore $9$ de $9 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 (x) - 81}{9} + 9$

Etapa 5.2.3.1.4.2

Fatore $9$ de $- 81$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 x + 9 \cdot - 9}{9} + 9$

Etapa 5.2.3.1.4.3

Fatore $9$ de $9 x + 9 \cdot - 9$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 (x - 9)}{9} + 9$

Etapa 5.2.3.2

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 (x - 9)}{9} + 9$

Etapa 5.2.3.2.2

Divida $x - 9$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = x - 9 + 9$

Etapa 5.2.4

Combine os termos opostos em $x - 9 + 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Some $- 9$ e $9$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = x + 0$

Etapa 5.2.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{x^{3}}{9} + 9)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{9 ((\frac{x^{3}}{9} + 9) - 9)}$

Etapa 5.3.3

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Subtraia $9$ de $9$ .

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{9 (\frac{x^{3}}{9} + 0)}$

Etapa 5.3.3.2

Some $\frac{x^{3}}{9}$ e $0$ .

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{9 (\frac{x^{3}}{9})}$

Etapa 5.3.4

Combine $9$ e $\frac{x^{3}}{9}$ .

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{\frac{9 x^{3}}{9}}$

Etapa 5.3.5

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.1

Reduza a expressão $\frac{9 x^{3}}{9}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.1.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{\frac{9 x^{3}}{9}}$

Etapa 5.3.5.1.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{1}}$

Etapa 5.3.5.2

Divida $x^{3}$ por $1$ .

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Etapa 5.3.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{9} + 9$ é o inverso de $f (x) = \sqrt[3]{9 (x - 9)}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{9} + 9$