Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x^{3} - 5 x}{x^{2} + 1}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{x^{3} - 5 x}{x^{2} + 1}$ é indefinida.

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 2

As assíntotas verticais ocorrem em áreas de descontinuidade infinita.

Nenhuma assíntota vertical

Etapa 3

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 4

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Etapa 5

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 6

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Fatore $x$ de $x^{3} - 5 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 5 x}{x^{2} + 1}$

Etapa 6.1.2

Fatore $x$ de $- 5 x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 5}{x^{2} + 1}$

Etapa 6.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 5$ .

$\frac{x (x^{2} - 5)}{x^{2} + 1}$

Etapa 6.2

Expanda $x (x^{2} - 5)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 5}{x^{2} + 1}$

Etapa 6.2.2

Reordene $x$ e $- 5$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 5 x}{x^{2} + 1}$

Etapa 6.2.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 5 x}{x^{2} + 1}$

Etapa 6.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{1 + 2} - 5 x}{x^{2} + 1}$

Etapa 6.2.5

Some $1$ e $2$ .

$\frac{x^{3} - 5 x}{x^{2} + 1}$

Etapa 6.3

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$0$

Etapa 6.4

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$0$

Etapa 6.5

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

Etapa 6.6

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} + 0 + x$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

Etapa 6.7

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

$6 x$

Etapa 6.8

Tire o próximo termo do dividendo original e o coloque no dividendo atual.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

$6 x$

$0$

Etapa 6.9

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$x + \frac{- 6 x}{x^{2} + 1}$

Etapa 6.10

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = x$

Etapa 7

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Nenhuma assíntota vertical

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = x$

Etapa 8