Pré-cálculo Exemplos

$h (x) = \sqrt{\frac{x + 2}{x^{2} - 5 x}}$

Etapa 1

Defina o radicando em $\sqrt{\frac{x + 2}{x^{2} - 5 x}}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\frac{x + 2}{x^{2} - 5 x} \geq 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x + 2 = 0$

$x^{2} - 5 x = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 2.3

Fatore $x$ de $x^{2} - 5 x$ .

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Etapa 2.3.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x - 5 x = 0$

Etapa 2.3.2

Fatore $x$ de $- 5 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 5 = 0$

Etapa 2.3.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 5$ .

$x (x - 5) = 0$

Etapa 2.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 5 = 0$

Etapa 2.5

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.6

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.6.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 2.6.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 2.7

A solução final são todos os valores que tornam $x (x - 5) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 5$

Etapa 2.8

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = - 2$

$x = 0, 5$

Etapa 2.9

Consolide as soluções.

$x = - 2, 0, 5$

Etapa 2.10

Encontre o domínio de $\frac{x + 2}{x^{2} - 5 x}$ .

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Etapa 2.10.1

Defina o denominador em $\frac{x + 2}{x^{2} - 5 x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} - 5 x = 0$

Etapa 2.10.2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.10.2.1

Fatore $x$ de $x^{2} - 5 x$ .

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Etapa 2.10.2.1.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x - 5 x = 0$

Etapa 2.10.2.1.2

Fatore $x$ de $- 5 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 5 = 0$

Etapa 2.10.2.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 5$ .

$x (x - 5) = 0$

Etapa 2.10.2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 5 = 0$

Etapa 2.10.2.3

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.10.2.4

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.10.2.4.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 2.10.2.4.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 2.10.2.5

A solução final são todos os valores que tornam $x (x - 5) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 5$

Etapa 2.10.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 5) \cup (5, \infty)$

Etapa 2.11

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 5$

$x > 5$

Etapa 2.12

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 2.12.1

Teste um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.12.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 2.12.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$\frac{(- 4) + 2}{{(- 4)}^{2} - 5 \cdot - 4} \geq 0$

Etapa 2.12.1.3

O lado esquerdo $- 0.0\overline{5}$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 2.12.2

Teste um valor no intervalo $- 2 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.12.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 2 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 1$

Etapa 2.12.2.2

Substitua $x$ por $- 1$ na desigualdade original.

$\frac{(- 1) + 2}{{(- 1)}^{2} - 5 \cdot - 1} \geq 0$

Etapa 2.12.2.3

O lado esquerdo $0.1\overline{6}$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 2.12.3

Teste um valor no intervalo $0 < x < 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.12.3.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 2.12.3.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\frac{(2) + 2}{{(2)}^{2} - 5 \cdot 2} \geq 0$

Etapa 2.12.3.3

O lado esquerdo $- 0.\overline{6}$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 2.12.4

Teste um valor no intervalo $x > 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.12.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 8$

Etapa 2.12.4.2

Substitua $x$ por $8$ na desigualdade original.

$\frac{(8) + 2}{{(8)}^{2} - 5 \cdot 8} \geq 0$

Etapa 2.12.4.3

O lado esquerdo $0.41\overline{6}$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 2.12.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < 5$ Falso

$x > 5$ Verdadeiro

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < 5$ Falso

$x > 5$ Verdadeiro

Etapa 2.13

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 2 \leq x < 0$ ou $x > 5$

Etapa 3

Defina o denominador em $\frac{x + 2}{x^{2} - 5 x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} - 5 x = 0$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Fatore $x$ de $x^{2} - 5 x$ .

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Etapa 4.1.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x - 5 x = 0$

Etapa 4.1.2

Fatore $x$ de $- 5 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 5 = 0$

Etapa 4.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 5$ .

$x (x - 5) = 0$

Etapa 4.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 5 = 0$

Etapa 4.3

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 4.4

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.4.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 4.4.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 4.5

A solução final são todos os valores que tornam $x (x - 5) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 5$

Etapa 5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[- 2, 0) \cup (5, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | - 2 \leq x < 0, x > 5}$

Etapa 6