Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Etapa 1

Escreva $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}$ como uma equação.

$y = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = {(\frac{\sqrt[3]{y}}{10})}^{5}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Simplifique ${(\frac{\sqrt[3]{y}}{10})}^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt[3]{y}}{10}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{y}}^{5}}{10^{5}}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Reescreva ${\sqrt[3]{y}}^{5}$ como $\sqrt[3]{y^{5}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y^{5}}}{10^{5}}$

Etapa 3.1.2.2

Fatore $y^{3}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y^{3} y^{2}}}{10^{5}}$

Etapa 3.1.2.3

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}}}{10^{5}}$

Etapa 3.1.3

Eleve $10$ à potência de $5$ .

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}}}{100000}$

Etapa 3.2

Reescreva a equação como $\frac{y \sqrt[3]{y^{2}}}{100000} = x$ .

$\frac{y \sqrt[3]{y^{2}}}{100000} = x$

Etapa 3.3

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{y^{2}}$ como $y^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{y \cdot y^{\frac{2}{3}}}{100000} = x$

Etapa 3.4

Multiplique os dois lados da equação por $100000$ .

$100000 \frac{y \cdot y^{\frac{2}{3}}}{100000} = 100000 x$

Etapa 3.5

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Simplifique $100000 \frac{y \cdot y^{\frac{2}{3}}}{100000}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.1

Cancele o fator comum de $100000$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.1.1

Cancele o fator comum.

$100000 \frac{y \cdot y^{\frac{2}{3}}}{100000} = 100000 x$

Etapa 3.5.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y \cdot y^{\frac{2}{3}} = 100000 x$

Etapa 3.5.1.2

Multiplique $y$ por $y^{\frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.2.1

Multiplique $y$ por $y^{\frac{2}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.2.1.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$y^{1} y^{\frac{2}{3}} = 100000 x$

Etapa 3.5.1.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y^{1 + \frac{2}{3}} = 100000 x$

Etapa 3.5.1.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$y^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}} = 100000 x$

Etapa 3.5.1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y^{\frac{3 + 2}{3}} = 100000 x$

Etapa 3.5.1.2.4

Some $3$ e $2$ .

$y^{\frac{5}{3}} = 100000 x$

Etapa 3.6

Eleve cada lado da equação à potência de $\frac{3}{5}$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(y^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

Etapa 3.7

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.1

Simplifique ${(y^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

Etapa 3.7.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

Etapa 3.7.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

Etapa 3.7.1.1.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

Etapa 3.7.1.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$y^{1} = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

Etapa 3.7.1.1.2

Simplifique.

$y = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

Etapa 3.7.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.1

Simplifique ${(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.1.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $100000 x$ .

$y = 100000^{\frac{3}{5}} x^{\frac{3}{5}}$

Etapa 3.7.2.1.1.2

Reescreva $100000$ como $10^{5}$ .

$y = {(10^{5})}^{\frac{3}{5}} x^{\frac{3}{5}}$

Etapa 3.7.2.1.1.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 10^{5 (\frac{3}{5})} x^{\frac{3}{5}}$

Etapa 3.7.2.1.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y = 10^{5 (\frac{3}{5})} x^{\frac{3}{5}}$

Etapa 3.7.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y = 10^{3} x^{\frac{3}{5}}$

Etapa 3.7.2.1.3

Eleve $10$ à potência de $3$ .

$y = 1000 x^{\frac{3}{5}}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = 1000 x^{\frac{3}{5}}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = 1000 x^{\frac{3}{5}}$ é o inverso de $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 {({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5})}^{\frac{3}{5}}$

Etapa 5.2.3

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5})}^{\frac{3}{5}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5 (\frac{3}{5})}$

Etapa 5.2.3.1.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5 (\frac{3}{5})}$

Etapa 5.2.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{3}$

Etapa 5.2.3.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt[3]{x}}{10}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{{\sqrt[3]{x}}^{3}}{10^{3}})$

Etapa 5.2.4

Reescreva ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ como $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{10^{3}})$

Etapa 5.2.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{10^{3}})$

Etapa 5.2.4.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{10^{3}})$

Etapa 5.2.4.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{10^{3}})$

Etapa 5.2.4.4.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x}{10^{3}})$

Etapa 5.2.4.5

Simplifique.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x}{10^{3}})$

Etapa 5.2.5

Eleve $10$ à potência de $3$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x}{1000})$

Etapa 5.2.6

Cancele o fator comum de $1000$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x}{1000})$

Etapa 5.2.6.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (1000 x^{\frac{3}{5}})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = {(\frac{\sqrt[3]{1000 x^{\frac{3}{5}}}}{10})}^{5}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Reescreva $1000 x^{\frac{3}{5}}$ como ${(10 x^{\frac{1}{5}})}^{3}$ .

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = {(\frac{\sqrt[3]{{(10 x^{\frac{1}{5}})}^{3}}}{10})}^{5}$

Etapa 5.3.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = {(\frac{10 x^{\frac{1}{5}}}{10})}^{5}$

Etapa 5.3.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = {(\frac{10 x^{\frac{1}{5}}}{10})}^{5}$

Etapa 5.3.4.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.2.1

Divida $x^{\frac{1}{5}}$ por $1$ .

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = {(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$

Etapa 5.3.4.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Etapa 5.3.4.2.2.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Etapa 5.3.4.2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = 1000 x^{\frac{3}{5}}$ é o inverso de $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}$ .

$f^{- 1} (x) = 1000 x^{\frac{3}{5}}$