Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{5} - 6}{9}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{x^{5} - 6}{9}$ como uma equação.

$y = \frac{x^{5} - 6}{9}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{y^{5} - 6}{9}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{y^{5} - 6}{9} = x$ .

$\frac{y^{5} - 6}{9} = x$

Etapa 3.2

Multiplique os dois lados da equação por $9$ .

$9 \frac{y^{5} - 6}{9} = 9 x$

Etapa 3.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum de $9$ .

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Etapa 3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$9 \frac{y^{5} - 6}{9} = 9 x$

Etapa 3.3.1.2

Reescreva a expressão.

$y^{5} - 6 = 9 x$

Etapa 3.4

Some $6$ aos dois lados da equação.

$y^{5} = 9 x + 6$

Etapa 3.5

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \sqrt[5]{9 x + 6}$

Etapa 3.6

Fatore $3$ de $9 x + 6$ .

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Etapa 3.6.1

Fatore $3$ de $9 x$ .

$y = \sqrt[5]{3 (3 x) + 6}$

Etapa 3.6.2

Fatore $3$ de $6$ .

$y = \sqrt[5]{3 (3 x) + 3 (2)}$

Etapa 3.6.3

Fatore $3$ de $3 (3 x) + 3 (2)$ .

$y = \sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$ é o inverso de $f (x) = \frac{x^{5} - 6}{9}$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (3 (\frac{x^{5} - 6}{9}) + 2)}$

Etapa 5.2.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.2.3.1

Fatore $3$ de $9$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (3 (\frac{x^{5} - 6}{3 (3)}) + 2)}$

Etapa 5.2.3.2

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (3 (\frac{x^{5} - 6}{3 \cdot 3}) + 2)}$

Etapa 5.2.3.3

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} - 6}{3} + 2)}$

Etapa 5.2.4

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} - 6}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3})}$

Etapa 5.2.5

Combine $2$ e $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} - 6}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3})}$

Etapa 5.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} - 6 + 2 \cdot 3}{3})}$

Etapa 5.2.7

Reordene os termos.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} + 2 \cdot 3 - 6}{3})}$

Etapa 5.2.8

Reescreva $\frac{x^{5} + 2 \cdot 3 - 6}{3}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 5.2.8.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} + 6 - 6}{3})}$

Etapa 5.2.8.2

Subtraia $6$ de $6$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} + 0}{3})}$

Etapa 5.2.8.3

Some $x^{5}$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5}}{3})}$

Etapa 5.2.9

Combine $3$ e $\frac{x^{5}}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{\frac{3 x^{5}}{3}}$

Etapa 5.2.10

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 5.2.10.1

Reduza a expressão $\frac{3 x^{5}}{3}$ cancelando os fatores comuns.

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Etapa 5.2.10.1.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{\frac{3 x^{5}}{3}}$

Etapa 5.2.10.1.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{1}}$

Etapa 5.2.10.2

Divida $x^{5}$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{x^{5}}$

Etapa 5.2.11

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{{(\sqrt[5]{3 (3 x + 2)})}^{5} - 6}{9}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$ como ${(3 (3 x + 2))}^{\frac{1}{5}}$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{{({(3 (3 x + 2))}^{\frac{1}{5}})}^{5} - 6}{9}$

Etapa 5.3.3.2

Multiplique os expoentes em ${({(3 (3 x + 2))}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Etapa 5.3.3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{{(3 (3 x + 2))}^{\frac{1}{5} \cdot 5} - 6}{9}$

Etapa 5.3.3.2.2

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 5.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{{(3 (3 x + 2))}^{\frac{1}{5} \cdot 5} - 6}{9}$

Etapa 5.3.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{(3 (3 x + 2)) - 6}{9}$

Etapa 5.3.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{(3 (3 x) + 3 \cdot 2) - 6}{9}$

Etapa 5.3.3.4

Multiplique $3$ por $3$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{(9 x + 3 \cdot 2) - 6}{9}$

Etapa 5.3.3.5

Multiplique $3$ por $2$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{(9 x + 6) - 6}{9}$

Etapa 5.3.3.6

Simplifique.

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{9 x + 6 - 6}{9}$

Etapa 5.3.3.7

Subtraia $6$ de $6$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{9 x + 0}{9}$

Etapa 5.3.3.8

Some $9 x$ e $0$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{9 x}{9}$

Etapa 5.3.4

Cancele o fator comum de $9$ .

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Etapa 5.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{9 x}{9}$

Etapa 5.3.4.2

Divida $x$ por $1$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$ é o inverso de $f (x) = \frac{x^{5} - 6}{9}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$