Pré-cálculo Exemplos

$2 x - y^{2} = 4 y + 10$

Etapa 1

Reescreva a equação na forma do vértice.

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Etapa 1.1

Isole $x$ no lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1.1

Some $y^{2}$ aos dois lados da equação.

$2 x = 4 y + 10 + y^{2}$

Etapa 1.1.2

Divida cada termo em $2 x = 4 y + 10 + y^{2}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 1.1.2.1

Divida cada termo em $2 x = 4 y + 10 + y^{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{4 y}{2} + \frac{10}{2} + \frac{y^{2}}{2}$

Etapa 1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{4 y}{2} + \frac{10}{2} + \frac{y^{2}}{2}$

Etapa 1.1.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{4 y}{2} + \frac{10}{2} + \frac{y^{2}}{2}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 1.1.2.3.1.1.1

Fatore $2$ de $4 y$ .

$x = \frac{2 (2 y)}{2} + \frac{10}{2} + \frac{y^{2}}{2}$

Etapa 1.1.2.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.1.2.3.1.1.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$x = \frac{2 (2 y)}{2 (1)} + \frac{10}{2} + \frac{y^{2}}{2}$

Etapa 1.1.2.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2 (2 y)}{2 \cdot 1} + \frac{10}{2} + \frac{y^{2}}{2}$

Etapa 1.1.2.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{2 y}{1} + \frac{10}{2} + \frac{y^{2}}{2}$

Etapa 1.1.2.3.1.1.2.4

Divida $2 y$ por $1$ .

$x = 2 y + \frac{10}{2} + \frac{y^{2}}{2}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Divida $10$ por $2$ .

$x = 2 y + 5 + \frac{y^{2}}{2}$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $2 y + 5 + \frac{y^{2}}{2}$ .

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Etapa 1.2.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.1.1

Mova $5$ .

$2 y + \frac{y^{2}}{2} + 5$

Etapa 1.2.1.2

Reordene $2 y$ e $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 2 y + 5$

Etapa 1.2.2

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = 2$

$c = 5$

Etapa 1.2.3

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{2})}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{2})}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$d = \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.2.4.2.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = 1 \cdot 2$

Etapa 1.2.4.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$d = 2$

Etapa 1.2.5

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 1.2.5.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 5 - \frac{2^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Etapa 1.2.5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.5.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$e = 5 - \frac{4}{4 (\frac{1}{2})}$

Etapa 1.2.5.2.1.2

Combine $4$ e $\frac{1}{2}$ .

$e = 5 - \frac{4}{\frac{4}{2}}$

Etapa 1.2.5.2.1.3

Divida $4$ por $2$ .

$e = 5 - \frac{4}{2}$

Etapa 1.2.5.2.1.4

Divida $4$ por $2$ .

$e = 5 - 1 \cdot 2$

Etapa 1.2.5.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$e = 5 - 2$

Etapa 1.2.5.2.2

Subtraia $2$ de $5$ .

$e = 3$

Etapa 1.2.6

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $\frac{1}{2} {(y + 2)}^{2} + 3$ .

$\frac{1}{2} {(y + 2)}^{2} + 3$

Etapa 1.3

Defina $x$ como igual ao novo lado direito.

$x = \frac{1}{2} \cdot {(y + 2)}^{2} + 3$

Etapa 2

Use a forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = 3$

$k = - 2$

Etapa 3

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(3, - 2)$

Etapa 4