Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 8 {(x + 9)}^{\frac{1}{7}}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 8 {(x + 9)}^{\frac{1}{7}}$ como uma equação.

$y = 8 {(x + 9)}^{\frac{1}{7}}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = 8 {(y + 9)}^{\frac{1}{7}}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $8 {(y + 9)}^{\frac{1}{7}} = x$ .

$8 {(y + 9)}^{\frac{1}{7}} = x$

Etapa 3.2

Divida cada termo em $8 {(y + 9)}^{\frac{1}{7}} = x$ por $8$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Divida cada termo em $8 {(y + 9)}^{\frac{1}{7}} = x$ por $8$ .

$\frac{8 {(y + 9)}^{\frac{1}{7}}}{8} = \frac{x}{8}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8 {(y + 9)}^{\frac{1}{7}}}{8} = \frac{x}{8}$

Etapa 3.2.2.2

Divida ${(y + 9)}^{\frac{1}{7}}$ por $1$ .

${(y + 9)}^{\frac{1}{7}} = \frac{x}{8}$

Etapa 3.3

Eleve cada lado da equação à potência de $7$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${({(y + 9)}^{\frac{1}{7}})}^{7} = {(\frac{x}{8})}^{7}$

Etapa 3.4

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1

Simplifique ${({(y + 9)}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(y + 9)}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 9)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(\frac{x}{8})}^{7}$

Etapa 3.4.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(y + 9)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(\frac{x}{8})}^{7}$

Etapa 3.4.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(y + 9)}^{1} = {(\frac{x}{8})}^{7}$

Etapa 3.4.1.1.2

Simplifique.

$y + 9 = {(\frac{x}{8})}^{7}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Simplifique ${(\frac{x}{8})}^{7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{x}{8}$ .

$y + 9 = \frac{x^{7}}{8^{7}}$

Etapa 3.4.2.1.2

Eleve $8$ à potência de $7$ .

$y + 9 = \frac{x^{7}}{2097152}$

Etapa 3.5

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$y = \frac{x^{7}}{2097152} - 9$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{7}}{2097152} - 9$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{x^{7}}{2097152} - 9$ é o inverso de $f (x) = 8 {(x + 9)}^{\frac{1}{7}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (8 {(x + 9)}^{\frac{1}{7}})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (8 {(x + 9)}^{\frac{1}{7}}) = \frac{{(8 {(x + 9)}^{\frac{1}{7}})}^{7}}{2097152} - 9$

Etapa 5.2.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1

Aplique a regra do produto a $8 {(x + 9)}^{\frac{1}{7}}$ .

$f^{- 1} (8 {(x + 9)}^{\frac{1}{7}}) = \frac{8^{7} {({(x + 9)}^{\frac{1}{7}})}^{7}}{2097152} - 9$

Etapa 5.2.3.1.2

Eleve $8$ à potência de $7$ .

$f^{- 1} (8 {(x + 9)}^{\frac{1}{7}}) = \frac{2097152 {({(x + 9)}^{\frac{1}{7}})}^{7}}{2097152} - 9$

Etapa 5.2.3.1.3

Multiplique os expoentes em ${({(x + 9)}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (8 {(x + 9)}^{\frac{1}{7}}) = \frac{2097152 {(x + 9)}^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{2097152} - 9$

Etapa 5.2.3.1.3.2

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (8 {(x + 9)}^{\frac{1}{7}}) = \frac{2097152 {(x + 9)}^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{2097152} - 9$

Etapa 5.2.3.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (8 {(x + 9)}^{\frac{1}{7}}) = \frac{2097152 (x + 9)}{2097152} - 9$

Etapa 5.2.3.1.4

Simplifique.

$f^{- 1} (8 {(x + 9)}^{\frac{1}{7}}) = \frac{2097152 (x + 9)}{2097152} - 9$

Etapa 5.2.3.2

Cancele o fator comum de $2097152$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (8 {(x + 9)}^{\frac{1}{7}}) = \frac{2097152 (x + 9)}{2097152} - 9$

Etapa 5.2.3.2.2

Divida $x + 9$ por $1$ .

$f^{- 1} (8 {(x + 9)}^{\frac{1}{7}}) = x + 9 - 9$

Etapa 5.2.4

Combine os termos opostos em $x + 9 - 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Subtraia $9$ de $9$ .

$f^{- 1} (8 {(x + 9)}^{\frac{1}{7}}) = x + 0$

Etapa 5.2.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (8 {(x + 9)}^{\frac{1}{7}}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{x^{7}}{2097152} - 9)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{x^{7}}{2097152} - 9) = 8 {((\frac{x^{7}}{2097152} - 9) + 9)}^{\frac{1}{7}}$

Etapa 5.3.3

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Combine os termos opostos em $(\frac{x^{7}}{2097152} - 9) + 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.1

Some $- 9$ e $9$ .

$f (\frac{x^{7}}{2097152} - 9) = 8 {(\frac{x^{7}}{2097152} + 0)}^{\frac{1}{7}}$

Etapa 5.3.3.1.2

Some $\frac{x^{7}}{2097152}$ e $0$ .

$f (\frac{x^{7}}{2097152} - 9) = 8 {(\frac{x^{7}}{2097152})}^{\frac{1}{7}}$

Etapa 5.3.3.2

Aplique a regra do produto a $\frac{x^{7}}{2097152}$ .

$f (\frac{x^{7}}{2097152} - 9) = 8 (\frac{{(x^{7})}^{\frac{1}{7}}}{2097152^{\frac{1}{7}}})$

Etapa 5.3.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{7})}^{\frac{1}{7}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{x^{7}}{2097152} - 9) = 8 (\frac{x^{7 (\frac{1}{7})}}{2097152^{\frac{1}{7}}})$

Etapa 5.3.4.1.2

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1.2.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{x^{7}}{2097152} - 9) = 8 (\frac{x^{7 (\frac{1}{7})}}{2097152^{\frac{1}{7}}})$

Etapa 5.3.4.1.2.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{x^{7}}{2097152} - 9) = 8 (\frac{x}{2097152^{\frac{1}{7}}})$

Etapa 5.3.4.2

Simplifique.

$f (\frac{x^{7}}{2097152} - 9) = 8 (\frac{x}{2097152^{\frac{1}{7}}})$

Etapa 5.3.5

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.1

Reescreva $2097152$ como $8^{7}$ .

$f (\frac{x^{7}}{2097152} - 9) = 8 (\frac{x}{{(8^{7})}^{\frac{1}{7}}})$

Etapa 5.3.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{x^{7}}{2097152} - 9) = 8 (\frac{x}{8^{7 (\frac{1}{7})}})$

Etapa 5.3.5.3

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.3.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{x^{7}}{2097152} - 9) = 8 (\frac{x}{8^{7 (\frac{1}{7})}})$

Etapa 5.3.5.3.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{x^{7}}{2097152} - 9) = 8 (\frac{x}{8})$

Etapa 5.3.5.4

Avalie o expoente.

$f (\frac{x^{7}}{2097152} - 9) = 8 (\frac{x}{8})$

Etapa 5.3.6

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.6.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{x^{7}}{2097152} - 9) = 8 (\frac{x}{8})$

Etapa 5.3.6.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{x^{7}}{2097152} - 9) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{x^{7}}{2097152} - 9$ é o inverso de $f (x) = 8 {(x + 9)}^{\frac{1}{7}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{7}}{2097152} - 9$