Pré-cálculo Exemplos

$\frac{6 x^{2} + 12 x - 177}{x^{2} + x - 30}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Fatore a fração.

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Etapa 1.1.1

Fatore $3$ de $6 x^{2} + 12 x - 177$ .

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Etapa 1.1.1.1

Fatore $3$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{3 (2 x^{2}) + 12 x - 177}{x^{2} + x - 30}$

Etapa 1.1.1.2

Fatore $3$ de $12 x$ .

$\frac{3 (2 x^{2}) + 3 (4 x) - 177}{x^{2} + x - 30}$

Etapa 1.1.1.3

Fatore $3$ de $- 177$ .

$\frac{3 (2 x^{2}) + 3 (4 x) + 3 (- 59)}{x^{2} + x - 30}$

Etapa 1.1.1.4

Fatore $3$ de $3 (2 x^{2}) + 3 (4 x)$ .

$\frac{3 (2 x^{2} + 4 x) + 3 (- 59)}{x^{2} + x - 30}$

Etapa 1.1.1.5

Fatore $3$ de $3 (2 x^{2} + 4 x) + 3 (- 59)$ .

$\frac{3 (2 x^{2} + 4 x - 59)}{x^{2} + x - 30}$

Etapa 1.1.2

Fatore $x^{2} + x - 30$ usando o método AC.

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Etapa 1.1.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 30$ e cuja soma é $1$ .

$- 5, 6$

Etapa 1.1.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{3 (2 x^{2} + 4 x - 59)}{(x - 5) (x + 6)}$

Etapa 1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{x - 5}$

Etapa 1.3

$\frac{A}{x - 5} + \frac{B}{x + 6}$

Etapa 1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(x - 5) (x + 6)$ .

$\frac{3 (2 x^{2} + 4 x - 59) (x - 5) (x + 6)}{(x - 5) (x + 6)} = \frac{(A) (x - 5) (x + 6)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $x - 5$ .

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (2 x^{2} + 4 x - 59) (x - 5) (x + 6)}{(x - 5) (x + 6)} = \frac{(A) (x - 5) (x + 6)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Etapa 1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 (2 x^{2} + 4 x - 59) (x + 6)}{x + 6} = \frac{(A) (x - 5) (x + 6)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Etapa 1.6

Cancele o fator comum de $x + 6$ .

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Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (2 x^{2} + 4 x - 59) (x + 6)}{x + 6} = \frac{(A) (x - 5) (x + 6)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Etapa 1.6.2

Divida $3 (2 x^{2} + 4 x - 59)$ por $1$ .

$3 (2 x^{2} + 4 x - 59) = \frac{(A) (x - 5) (x + 6)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Etapa 1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (2 x^{2}) + 3 (4 x) + 3 \cdot - 59 = \frac{(A) (x - 5) (x + 6)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Etapa 1.8

Simplifique.

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Etapa 1.8.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 x^{2} + 3 (4 x) + 3 \cdot - 59 = \frac{(A) (x - 5) (x + 6)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Etapa 1.8.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$6 x^{2} + 12 x + 3 \cdot - 59 = \frac{(A) (x - 5) (x + 6)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Etapa 1.8.3

Multiplique $3$ por $- 59$ .

$6 x^{2} + 12 x - 177 = \frac{(A) (x - 5) (x + 6)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Etapa 1.9

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.9.1

Cancele o fator comum de $x - 5$ .

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Etapa 1.9.1.1

Cancele o fator comum.

$6 x^{2} + 12 x - 177 = \frac{A (x - 5) (x + 6)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Etapa 1.9.1.2

Divida $(A) (x + 6)$ por $1$ .

$6 x^{2} + 12 x - 177 = (A) (x + 6) + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Etapa 1.9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$6 x^{2} + 12 x - 177 = A x + A \cdot 6 + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Etapa 1.9.3

Mova $6$ para a esquerda de $A$ .

$6 x^{2} + 12 x - 177 = A x + 6 \cdot A + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Etapa 1.9.4

Cancele o fator comum de $x + 6$ .

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Etapa 1.9.4.1

Cancele o fator comum.

$6 x^{2} + 12 x - 177 = A x + 6 A + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Etapa 1.9.4.2

Divida $(B) (x - 5)$ por $1$ .

$6 x^{2} + 12 x - 177 = A x + 6 A + (B) (x - 5)$

Etapa 1.9.5

Aplique a propriedade distributiva.

$6 x^{2} + 12 x - 177 = A x + 6 A + B x + B \cdot - 5$

Etapa 1.9.6

Mova $- 5$ para a esquerda de $B$ .

$6 x^{2} + 12 x - 177 = A x + 6 A + B x - 5 B$

Etapa 1.10

Mova $6 A$ .

$6 x^{2} + 12 x - 177 = A x + B x + 6 A - 5 B$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$12 = A + B$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 177 = 6 A - 5 B$

Etapa 2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$12 = A + B$

$- 177 = 6 A - 5 B$

$12 = A + B$

$- 177 = 6 A - 5 B$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Resolva $A$ em $12 = A + B$ .

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Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $A + B = 12$ .

$A + B = 12$

$- 177 = 6 A - 5 B$

Etapa 3.1.2

Subtraia $B$ dos dois lados da equação.

$A = 12 - B$

$- 177 = 6 A - 5 B$

$A = 12 - B$

$- 177 = 6 A - 5 B$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $12 - B$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $- 177 = 6 A - 5 B$ por $12 - B$ .

$- 177 = 6 (12 - B) - 5 B$

$A = 12 - B$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $6 (12 - B) - 5 B$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 177 = 6 \cdot 12 + 6 (- B) - 5 B$

$A = 12 - B$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Multiplique $6$ por $12$ .

$- 177 = 72 + 6 (- B) - 5 B$

$A = 12 - B$

Etapa 3.2.2.1.1.3

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$- 177 = 72 - 6 B - 5 B$

$A = 12 - B$

$- 177 = 72 - 6 B - 5 B$

$A = 12 - B$

Etapa 3.2.2.1.2

Subtraia $5 B$ de $- 6 B$ .

$- 177 = 72 - 11 B$

$A = 12 - B$

$- 177 = 72 - 11 B$

$A = 12 - B$

$- 177 = 72 - 11 B$

$A = 12 - B$

$- 177 = 72 - 11 B$

$A = 12 - B$

Etapa 3.3

Resolva $B$ em $- 177 = 72 - 11 B$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $72 - 11 B = - 177$ .

$72 - 11 B = - 177$

$A = 12 - B$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Subtraia $72$ dos dois lados da equação.

$- 11 B = - 177 - 72$

$A = 12 - B$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $72$ de $- 177$ .

$- 11 B = - 249$

$A = 12 - B$

$- 11 B = - 249$

$A = 12 - B$

Etapa 3.3.3

Divida cada termo em $- 11 B = - 249$ por $- 11$ e simplifique.

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Etapa 3.3.3.1

Divida cada termo em $- 11 B = - 249$ por $- 11$ .

$\frac{- 11 B}{- 11} = \frac{- 249}{- 11}$

$A = 12 - B$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 11$ .

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Etapa 3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 11 B}{- 11} = \frac{- 249}{- 11}$

$A = 12 - B$

Etapa 3.3.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 249}{- 11}$

$A = 12 - B$

$B = \frac{- 249}{- 11}$

$A = 12 - B$

$B = \frac{- 249}{- 11}$

$A = 12 - B$

Etapa 3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$B = \frac{249}{11}$

$A = 12 - B$

$B = \frac{249}{11}$

$A = 12 - B$

$B = \frac{249}{11}$

$A = 12 - B$

$B = \frac{249}{11}$

$A = 12 - B$

Etapa 3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $\frac{249}{11}$ em cada equação.

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Etapa 3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = 12 - B$ por $\frac{249}{11}$ .

$A = 12 - (\frac{249}{11})$

$B = \frac{249}{11}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.1

Simplifique $12 - (\frac{249}{11})$ .

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Etapa 3.4.2.1.1

Para escrever $12$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{11}{11}$ .

$A = 12 \cdot \frac{11}{11} - \frac{249}{11}$

$B = \frac{249}{11}$

Etapa 3.4.2.1.2

Combine $12$ e $\frac{11}{11}$ .

$A = \frac{12 \cdot 11}{11} - \frac{249}{11}$

$B = \frac{249}{11}$

Etapa 3.4.2.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A = \frac{12 \cdot 11 - 249}{11}$

$B = \frac{249}{11}$

Etapa 3.4.2.1.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.2.1.4.1

Multiplique $12$ por $11$ .

$A = \frac{132 - 249}{11}$

$B = \frac{249}{11}$

Etapa 3.4.2.1.4.2

Subtraia $249$ de $132$ .

$A = \frac{- 117}{11}$

$B = \frac{249}{11}$

$A = \frac{- 117}{11}$

$B = \frac{249}{11}$

Etapa 3.4.2.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A = - \frac{117}{11}$

$B = \frac{249}{11}$

$A = - \frac{117}{11}$

$B = \frac{249}{11}$

$A = - \frac{117}{11}$

$B = \frac{249}{11}$

$A = - \frac{117}{11}$

$B = \frac{249}{11}$

Etapa 3.5

Liste todas as soluções.

$A = - \frac{117}{11}, B = \frac{249}{11}$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x - 5} + \frac{B}{x + 6}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{- \frac{117}{11}}{x - 5} + \frac{\frac{249}{11}}{x + 6}$