Pré-cálculo Exemplos

$r (t) = \frac{t^{2} - 1}{t^{3} + 6 t^{2} + t}$

Etapa 1

Defina o denominador em $\frac{t^{2} - 1}{t^{3} + 6 t^{2} + t}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$t^{3} + 6 t^{2} + t = 0$

Etapa 2

Resolva $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore $t$ de $t^{3} + 6 t^{2} + t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Fatore $t$ de $t^{3}$ .

$t \cdot t^{2} + 6 t^{2} + t = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $t$ de $6 t^{2}$ .

$t \cdot t^{2} + t (6 t) + t = 0$

Etapa 2.1.3

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$t \cdot t^{2} + t (6 t) + t = 0$

Etapa 2.1.4

Fatore $t$ de $t^{1}$ .

$t \cdot t^{2} + t (6 t) + t \cdot 1 = 0$

Etapa 2.1.5

Fatore $t$ de $t \cdot t^{2} + t (6 t)$ .

$t (t^{2} + 6 t) + t \cdot 1 = 0$

Etapa 2.1.6

Fatore $t$ de $t (t^{2} + 6 t) + t \cdot 1$ .

$t (t^{2} + 6 t + 1) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$t = 0$

$t^{2} + 6 t + 1 = 0$

Etapa 2.3

Defina $t$ como igual a $0$ .

$t = 0$

Etapa 2.4

Defina $t^{2} + 6 t + 1$ como igual a $0$ e resolva para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Defina $t^{2} + 6 t + 1$ como igual a $0$ .

$t^{2} + 6 t + 1 = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $t^{2} + 6 t + 1 = 0$ para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.4.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 6$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $t$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.3.1.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.3

Subtraia $4$ de $36$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.4

Reescreva $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.3.1.4.1

Fatore $16$ de $32$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.4.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$t = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.4.2.3.3

Simplifique $\frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$t = - 3 \pm 2 \sqrt{2}$

Etapa 2.4.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.4.1.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.4.1.3

Subtraia $4$ de $36$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.4.1.4

Reescreva $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.4.1.4.1

Fatore $16$ de $32$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.4.1.4.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.4.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$t = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.4.2.4.3

Simplifique $\frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$t = - 3 \pm 2 \sqrt{2}$

Etapa 2.4.2.4.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$t = - 3 + 2 \sqrt{2}$

Etapa 2.4.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.5.1.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.5.1.3

Subtraia $4$ de $36$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.5.1.4

Reescreva $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.5.1.4.1

Fatore $16$ de $32$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.5.1.4.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.5.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$t = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$t = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.4.2.5.3

Simplifique $\frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$t = - 3 \pm 2 \sqrt{2}$

Etapa 2.4.2.5.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$t = - 3 - 2 \sqrt{2}$

Etapa 2.4.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$t = - 3 + 2 \sqrt{2}, - 3 - 2 \sqrt{2}$

Etapa 2.5

A solução final são todos os valores que tornam $t (t^{2} + 6 t + 1) = 0$ verdadeiro.

$t = 0, - 3 + 2 \sqrt{2}, - 3 - 2 \sqrt{2}$

Etapa 3

O domínio consiste em todos os valores de $t$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 3 - 2 \sqrt{2}) \cup (- 3 - 2 \sqrt{2}, - 3 + 2 \sqrt{2}) \cup (- 3 + 2 \sqrt{2}, 0) \cup (0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${t | t \neq 0, - 3 + 2 \sqrt{2}, - 3 - 2 \sqrt{2}}$

Etapa 4