Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{9 - \sqrt{- x}}$

Etapa 1

Defina o radicando em $\sqrt{- x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$- x \geq 0$

Etapa 2

Divida cada termo em $- x \geq 0$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 2.1

Divida cada termo em $- x \geq 0$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Etapa 2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{0}{- 1}$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida $0$ por $- 1$ .

$x \leq 0$

Etapa 3

Defina o radicando em $\sqrt{9 - \sqrt{- x}}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$9 - \sqrt{- x} \geq 0$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Subtraia $9$ dos dois lados da desigualdade.

$- \sqrt{- x} \geq - 9$

Etapa 4.2

Para remover o radical no lado esquerdo da desigualdade, eleve ao quadrado os dois lados da desigualdade.

${(- \sqrt{- x})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Etapa 4.3

Simplifique cada lado da desigualdade.

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Etapa 4.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{- x}$ como ${(- x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.3.2.1

Simplifique ${(- {(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.3.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- x$ .

${(- ({(- 1)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.2

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.3.2.1.2.1

Mova ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.2.2

Multiplique ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $- 1$ .

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Etapa 4.3.2.1.2.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

${({(- 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot {(- 1)}^{1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${({(- 1)}^{\frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.2.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

${({(- 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

${({(- 1)}^{\frac{1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.2.5

Some $1$ e $2$ .

${({(- 1)}^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.3

Reescreva ${(- 1)}^{\frac{3}{2}}$ como $\sqrt{{(- 1)}^{3}}$ .

${(\sqrt{{(- 1)}^{3}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.4

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

${(\sqrt{- 1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

${(i x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.6

Aplique a regra do produto a $i x^{\frac{1}{2}}$ .

$i^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.7

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$- {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.8

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.3.2.1.8.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 9)}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.8.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.2.1.8.2.1

Cancele o fator comum.

$- x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 9)}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.8.2.2

Reescreva a expressão.

$- x^{1} \geq {(- 9)}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.9

Simplifique.

$- x \geq {(- 9)}^{2}$

Etapa 4.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.3.1

Eleve $- 9$ à potência de $2$ .

$- x \geq 81$

Etapa 4.4

Divida cada termo em $- x \geq 81$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 4.4.1

Divida cada termo em $- x \geq 81$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{81}{- 1}$

Etapa 4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.4.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{81}{- 1}$

Etapa 4.4.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{81}{- 1}$

Etapa 4.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.4.3.1

Divida $81$ por $- 1$ .

$x \leq - 81$

Etapa 4.5

Encontre o domínio de $9 - \sqrt{- x}$ .

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Etapa 4.5.1

Defina o radicando em $\sqrt{- x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$- x \geq 0$

Etapa 4.5.2

Divida cada termo em $- x \geq 0$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 4.5.2.1

Divida cada termo em $- x \geq 0$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Etapa 4.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Etapa 4.5.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{0}{- 1}$

Etapa 4.5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.5.2.3.1

Divida $0$ por $- 1$ .

$x \leq 0$

Etapa 4.5.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 0]$

Etapa 4.6

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 81$

$- 81 < x < 0$

$x > 0$

Etapa 4.7

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 4.7.1

Teste um valor no intervalo $x < - 81$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 4.7.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 81$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 84$

Etapa 4.7.1.2

Substitua $x$ por $- 84$ na desigualdade original.

$9 - \sqrt{- (- 84)} \geq 0$

Etapa 4.7.1.3

O lado esquerdo $- 0.16515138$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 4.7.2

Teste um valor no intervalo $- 81 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 4.7.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 81 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 4.7.2.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$9 - \sqrt{- (- 2)} \geq 0$

Etapa 4.7.2.3

O lado esquerdo $7.58578643$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 4.7.3

Teste um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 4.7.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 4.7.3.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$9 - \sqrt{- (2)} \geq 0$

Etapa 4.7.3.3

O lado esquerdo é diferente do lado direito, o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 4.7.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 81$ Falso

$- 81 < x < 0$ Verdadeiro

$x > 0$ Falso

$x < - 81$ Falso

$- 81 < x < 0$ Verdadeiro

$x > 0$ Falso

Etapa 4.8

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 81 \leq x \leq 0$

Etapa 5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[- 81, 0]$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | - 81 \leq x \leq 0}$

Etapa 6