Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{{(y - 7)}^{2}}{15} = 1$

Etapa 1

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{{(y - 7)}^{2}}{15} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma elipse. Use-a para determinar os valores usados para encontrar o centro junto com os eixos maior e menor da elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta elipse com os da forma padrão. A variável $a$ representa o raio do eixo maior da elipse, $b$ representa o raio do eixo menor da elipse, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$a = \sqrt{15}$

$b = 2 \sqrt{3}$

$k = 7$

$h = 0$

Etapa 4

O centro de uma elipse segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(0, 7)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da elipse usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(\sqrt{15})}^{2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Reescreva ${\sqrt{15}}^{2}$ como $15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{15}$ como $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{15^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Etapa 5.3.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{15^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Etapa 5.3.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{15^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Etapa 5.3.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{15^{1} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Etapa 5.3.1.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{15 - {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{15 - (2^{2} {\sqrt{3}}^{2})}$

Etapa 5.3.2.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{15 - (4 {\sqrt{3}}^{2})}$

Etapa 5.3.3

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{15 - (4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Etapa 5.3.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{15 - (4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Etapa 5.3.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{15 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}$

Etapa 5.3.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{15 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}$

Etapa 5.3.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{15 - (4 \cdot 3^{1})}$

Etapa 5.3.3.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{15 - (4 \cdot 3)}$

Etapa 5.3.4

Multiplique $- (4 \cdot 3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Multiplique $4$ por $3$ .

$\sqrt{15 - 1 \cdot 12}$

Etapa 5.3.4.2

Multiplique $- 1$ por $12$ .

$\sqrt{15 - 12}$

Etapa 5.3.5

Subtraia $12$ de $15$ .

$\sqrt{3}$

Etapa 6

Encontre os vértices.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma elipse pode ser encontrado ao somar $a$ com $k$ .

$(h, k + a)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(0, 7 + \sqrt{15})$

Etapa 6.3

O segundo vértice de uma elipse pode ser encontrado ao subtrair $a$ de $k$ .

$(h, k - a)$

Etapa 6.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(0, 7 - (\sqrt{15}))$

Etapa 6.5

Simplifique.

$(0, 7 - \sqrt{15})$

Etapa 6.6

As elipses têm dois vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 7 + \sqrt{15})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, 7 - \sqrt{15})$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 7 + \sqrt{15})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, 7 - \sqrt{15})$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao somar $c$ com $k$ .

$(h, k + c)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(0, 7 + \sqrt{3})$

Etapa 7.3

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Etapa 7.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(0, 7 - (\sqrt{3}))$

Etapa 7.5

Simplifique.

$(0, 7 - \sqrt{3})$

Etapa 7.6

As elipses têm dois pontos imaginários.

${Focus}_{1}$ : $(0, 7 + \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(0, 7 - \sqrt{3})$

${Focus}_{1}$ : $(0, 7 + \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(0, 7 - \sqrt{3})$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{15})}^{2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Etapa 8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1

Reescreva ${\sqrt{15}}^{2}$ como $15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{15}$ como $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Etapa 8.3.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{15^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Etapa 8.3.1.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{15^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Etapa 8.3.1.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{15^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Etapa 8.3.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{15^{1} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Etapa 8.3.1.1.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{15 - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Etapa 8.3.1.2

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{15 - (2^{2} {\sqrt{3}}^{2})}}{\sqrt{15}}$

Etapa 8.3.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{15 - (4 {\sqrt{3}}^{2})}}{\sqrt{15}}$

Etapa 8.3.1.4

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{15 - (4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}}{\sqrt{15}}$

Etapa 8.3.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{15 - (4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}}{\sqrt{15}}$

Etapa 8.3.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{15 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}}{\sqrt{15}}$

Etapa 8.3.1.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{15 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}}{\sqrt{15}}$

Etapa 8.3.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{15 - (4 \cdot 3^{1})}}{\sqrt{15}}$

Etapa 8.3.1.4.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{15 - (4 \cdot 3)}}{\sqrt{15}}$

Etapa 8.3.1.5

Multiplique $- (4 \cdot 3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.5.1

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{15 - 1 \cdot 12}}{\sqrt{15}}$

Etapa 8.3.1.5.2

Multiplique $- 1$ por $12$ .

$\frac{\sqrt{15 - 12}}{\sqrt{15}}$

Etapa 8.3.1.6

Subtraia $12$ de $15$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{15}}$

Etapa 8.3.2

Combine $\sqrt{3}$ e $\sqrt{15}$ em um único radical.

$\sqrt{\frac{3}{15}}$

Etapa 8.3.3

Cancele o fator comum de $3$ e $15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.3.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\sqrt{\frac{3 (1)}{15}}$

Etapa 8.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.3.2.1

Fatore $3$ de $15$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 5}}$

Etapa 8.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 5}}$

Etapa 8.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\sqrt{\frac{1}{5}}$

Etapa 8.3.4

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{5}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$

Etapa 8.3.5

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{5}}$

Etapa 8.3.6

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Etapa 8.3.7

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.7.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 8.3.7.2

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Etapa 8.3.7.3

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Etapa 8.3.7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Etapa 8.3.7.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Etapa 8.3.7.6

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.7.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 8.3.7.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 8.3.7.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 8.3.7.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.7.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 8.3.7.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{5}}{5^{1}}$

Etapa 8.3.7.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 9

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma elipse.

Centro: $(0, 7)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 7 + \sqrt{15})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, 7 - \sqrt{15})$

${Focus}_{1}$ : $(0, 7 + \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(0, 7 - \sqrt{3})$

Excentricidade: $\frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 10