Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3}}$

Etapa 1

Defina o radicando em $\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$5 x^{2} + 14 x - 3 \geq 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Converta a desigualdade em uma equação.

$5 x^{2} + 14 x - 3 = 0$

Etapa 2.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 5 \cdot - 3 = - 15$ e cuja soma é $b = 14$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Fatore $14$ de $14 x$ .

$5 x^{2} + 14 (x) - 3 = 0$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva $14$ como $- 1$ mais $15$

$5 x^{2} + (- 1 + 15) x - 3 = 0$

Etapa 2.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x^{2} - 1 x + 15 x - 3 = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(5 x^{2} - 1 x) + 15 x - 3 = 0$

Etapa 2.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (5 x - 1) + 3 (5 x - 1) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $5 x - 1$ .

$(5 x - 1) (x + 3) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$5 x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Etapa 2.4

Defina $5 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Defina $5 x - 1$ como igual a $0$ .

$5 x - 1 = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $5 x - 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$5 x = 1$

Etapa 2.4.2.2

Divida cada termo em $5 x = 1$ por $5$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1

Divida cada termo em $5 x = 1$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Etapa 2.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Etapa 2.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{5}$

Etapa 2.5

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 2.5.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(5 x - 1) (x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{1}{5}, - 3$

Etapa 2.7

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 3$

$- 3 < x < \frac{1}{5}$

$x > \frac{1}{5}$

Etapa 2.8

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Teste um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 2.8.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$5 {(- 6)}^{2} + 14 (- 6) - 3 \geq 0$

Etapa 2.8.1.3

O lado esquerdo $93$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 2.8.2

Teste um valor no intervalo $- 3 < x < \frac{1}{5}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 3 < x < \frac{1}{5}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 2.8.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$5 {(0)}^{2} + 14 (0) - 3 \geq 0$

Etapa 2.8.2.3

O lado esquerdo $- 3$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 2.8.3

Teste um valor no intervalo $x > \frac{1}{5}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > \frac{1}{5}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3$

Etapa 2.8.3.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

$5 {(3)}^{2} + 14 (3) - 3 \geq 0$

Etapa 2.8.3.3

O lado esquerdo $84$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 2.8.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 3$ Verdadeiro

$- 3 < x < \frac{1}{5}$ Falso

$x > \frac{1}{5}$ Verdadeiro

$x < - 3$ Verdadeiro

$- 3 < x < \frac{1}{5}$ Falso

$x > \frac{1}{5}$ Verdadeiro

Etapa 2.9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - 3$ ou $x \geq \frac{1}{5}$

Etapa 3

Defina o denominador em $\frac{1}{\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3} = 0$

Etapa 4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3}}^{2} = 0^{2}$

Etapa 4.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3}$ como ${(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique ${({(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 4.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 4.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(5 x^{2} + 14 x - 3)}^{1} = 0^{2}$

Etapa 4.2.2.1.2

Simplifique.

$5 x^{2} + 14 x - 3 = 0^{2}$

Etapa 4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$5 x^{2} + 14 x - 3 = 0$

Etapa 4.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 5 \cdot - 3 = - 15$ e cuja soma é $b = 14$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1.1

Fatore $14$ de $14 x$ .

$5 x^{2} + 14 (x) - 3 = 0$

Etapa 4.3.1.1.2

Reescreva $14$ como $- 1$ mais $15$

$5 x^{2} + (- 1 + 15) x - 3 = 0$

Etapa 4.3.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x^{2} - 1 x + 15 x - 3 = 0$

Etapa 4.3.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(5 x^{2} - 1 x) + 15 x - 3 = 0$

Etapa 4.3.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (5 x - 1) + 3 (5 x - 1) = 0$

Etapa 4.3.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $5 x - 1$ .

$(5 x - 1) (x + 3) = 0$

Etapa 4.3.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$5 x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Etapa 4.3.3

Defina $5 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Defina $5 x - 1$ como igual a $0$ .

$5 x - 1 = 0$

Etapa 4.3.3.2

Resolva $5 x - 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$5 x = 1$

Etapa 4.3.3.2.2

Divida cada termo em $5 x = 1$ por $5$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.2.2.1

Divida cada termo em $5 x = 1$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Etapa 4.3.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Etapa 4.3.3.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{5}$

Etapa 4.3.4

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 4.3.4.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 4.3.5

A solução final são todos os valores que tornam $(5 x - 1) (x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{1}{5}, - 3$

Etapa 4.4

Exclua as soluções que não tornam $\sqrt{5 x^{2} + 14 x - 3} = 0$ verdadeira.

$x = - 3$

Etapa 5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 3) \cup [\frac{1}{5}, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x < - 3, x \geq \frac{1}{5}}$

Etapa 6