Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{2 x}{4 - 3 x}$ $f^{- 1} (x)$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{2 x}{4 - 3 x}$ como uma equação.

$y = \frac{2 x}{4 - 3 x}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{2 y}{4 - 3 y}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{2 y}{4 - 3 y} = x$ .

$\frac{2 y}{4 - 3 y} = x$

Etapa 3.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$4 - 3 y, 1$

Etapa 3.2.2

Remova os parênteses.

$4 - 3 y, 1$

Etapa 3.2.3

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$4 - 3 y$

Etapa 3.3

Multiplique cada termo em $\frac{2 y}{4 - 3 y} = x$ por $4 - 3 y$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{2 y}{4 - 3 y} = x$ por $4 - 3 y$ .

$\frac{2 y}{4 - 3 y} (4 - 3 y) = x (4 - 3 y)$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $4 - 3 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y}{4 - 3 y} (4 - 3 y) = x (4 - 3 y)$

Etapa 3.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$2 y = x (4 - 3 y)$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 y = x \cdot 4 + x (- 3 y)$

Etapa 3.3.3.2

Reordene.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$2 y = 4 \cdot x + x (- 3 y)$

Etapa 3.3.3.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 y = 4 x - 3 x y$

Etapa 3.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Some $3 x y$ aos dois lados da equação.

$2 y + 3 x y = 4 x$

Etapa 3.4.2

Fatore $y$ de $2 y + 3 x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Fatore $y$ de $2 y$ .

$y \cdot 2 + 3 x y = 4 x$

Etapa 3.4.2.2

Fatore $y$ de $3 x y$ .

$y \cdot 2 + y (3 x) = 4 x$

Etapa 3.4.2.3

Fatore $y$ de $y \cdot 2 + y (3 x)$ .

$y (2 + 3 x) = 4 x$

Etapa 3.4.3

Divida cada termo em $y (2 + 3 x) = 4 x$ por $2 + 3 x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Divida cada termo em $y (2 + 3 x) = 4 x$ por $2 + 3 x$ .

$\frac{y (2 + 3 x)}{2 + 3 x} = \frac{4 x}{2 + 3 x}$

Etapa 3.4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.2.1

Cancele o fator comum de $2 + 3 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (2 + 3 x)}{2 + 3 x} = \frac{4 x}{2 + 3 x}$

Etapa 3.4.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{4 x}{2 + 3 x}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{2 + 3 x}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{2 + 3 x}$ é o inverso de $f (x) = \frac{2 x}{4 - 3 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{4 (\frac{2 x}{4 - 3 x})}{2 + 3 (\frac{2 x}{4 - 3 x})}$

Etapa 5.2.3

Combine $4$ e $\frac{2 x}{4 - 3 x}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{2 + 3 (\frac{2 x}{4 - 3 x})}$

Etapa 5.2.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Multiplique $3 \frac{2 x}{4 - 3 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1.1

Combine $3$ e $\frac{2 x}{4 - 3 x}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{2 + \frac{3 (2 x)}{4 - 3 x}}$

Etapa 5.2.4.1.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{2 + \frac{6 x}{4 - 3 x}}$

Etapa 5.2.4.2

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4 - 3 x}{4 - 3 x}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{2 (4 - 3 x)}{4 - 3 x} + \frac{6 x}{4 - 3 x}}$

Etapa 5.2.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{2 (4 - 3 x) + 6 x}{4 - 3 x}}$

Etapa 5.2.4.4

Reescreva $\frac{2 (4 - 3 x) + 6 x}{4 - 3 x}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.4.1

Fatore $2$ de $2 (4 - 3 x) + 6 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.4.1.1

Fatore $2$ de $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{2 (4 - 3 x) + 2 (3 x)}{4 - 3 x}}$

Etapa 5.2.4.4.1.2

Fatore $2$ de $2 (4 - 3 x) + 2 (3 x)$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{2 (4 - 3 x + 3 x)}{4 - 3 x}}$

Etapa 5.2.4.4.2

Some $- 3 x$ e $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{2 (4 + 0)}{4 - 3 x}}$

Etapa 5.2.4.4.3

Some $4$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{2 \cdot 4}{4 - 3 x}}$

Etapa 5.2.4.5

Multiplique $2$ por $4$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{4 (2 x)}{4 - 3 x}}{\frac{8}{4 - 3 x}}$

Etapa 5.2.5

Multiplique $4$ por $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{\frac{8 x}{4 - 3 x}}{\frac{8}{4 - 3 x}}$

Etapa 5.2.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{8 x}{4 - 3 x} \cdot \frac{4 - 3 x}{8}$

Etapa 5.2.7

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.7.1

Fatore $8$ de $8 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{8 (x)}{4 - 3 x} \cdot \frac{4 - 3 x}{8}$

Etapa 5.2.7.2

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{8 x}{4 - 3 x} \cdot \frac{4 - 3 x}{8}$

Etapa 5.2.7.3

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{x}{4 - 3 x} \cdot (4 - 3 x)$

Etapa 5.2.8

Cancele o fator comum de $4 - 3 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.8.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = \frac{x}{4 - 3 x} \cdot (4 - 3 x)$

Etapa 5.2.8.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{4 - 3 x}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{4 x}{2 + 3 x})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{2 (\frac{4 x}{2 + 3 x})}{4 - 3 \frac{4 x}{2 + 3 x}}$

Etapa 5.3.3

Combine $2$ e $\frac{4 x}{2 + 3 x}$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{4 - 3 \frac{4 x}{2 + 3 x}}$

Etapa 5.3.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Multiplique $- 3 \frac{4 x}{2 + 3 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1.1

Combine $- 3$ e $\frac{4 x}{2 + 3 x}$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{4 + \frac{- 3 (4 x)}{2 + 3 x}}$

Etapa 5.3.4.1.2

Multiplique $4$ por $- 3$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{4 + \frac{- 12 x}{2 + 3 x}}$

Etapa 5.3.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{4 - \frac{12 x}{2 + 3 x}}$

Etapa 5.3.4.3

Para escrever $4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 + 3 x}{2 + 3 x}$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{4 (2 + 3 x)}{2 + 3 x} - \frac{12 x}{2 + 3 x}}$

Etapa 5.3.4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{4 (2 + 3 x) - 12 x}{2 + 3 x}}$

Etapa 5.3.4.5

Reescreva $\frac{4 (2 + 3 x) - 12 x}{2 + 3 x}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 5.3.4.5.1

Fatore $4$ de $4 (2 + 3 x) - 12 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.5.1.1

Fatore $4$ de $- 12 x$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{4 (2 + 3 x) + 4 (- 3 x)}{2 + 3 x}}$

Etapa 5.3.4.5.1.2

Fatore $4$ de $4 (2 + 3 x) + 4 (- 3 x)$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{4 (2 + 3 x - 3 x)}{2 + 3 x}}$

Etapa 5.3.4.5.2

Subtraia $3 x$ de $3 x$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{4 (2 + 0)}{2 + 3 x}}$

Etapa 5.3.4.5.3

Some $2$ e $0$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{4 \cdot 2}{2 + 3 x}}$

Etapa 5.3.4.6

Multiplique $4$ por $2$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{2 (4 x)}{2 + 3 x}}{\frac{8}{2 + 3 x}}$

Etapa 5.3.5

Multiplique $2$ por $4$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{\frac{8 x}{2 + 3 x}}{\frac{8}{2 + 3 x}}$

Etapa 5.3.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{8 x}{2 + 3 x} \cdot \frac{2 + 3 x}{8}$

Etapa 5.3.7

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.7.1

Fatore $8$ de $8 x$ .

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{8 (x)}{2 + 3 x} \cdot \frac{2 + 3 x}{8}$

Etapa 5.3.7.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{8 x}{2 + 3 x} \cdot \frac{2 + 3 x}{8}$

Etapa 5.3.7.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{x}{2 + 3 x} \cdot (2 + 3 x)$

Etapa 5.3.8

Cancele o fator comum de $2 + 3 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.8.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = \frac{x}{2 + 3 x} \cdot (2 + 3 x)$

Etapa 5.3.8.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{4 x}{2 + 3 x}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{2 + 3 x}$ é o inverso de $f (x) = \frac{2 x}{4 - 3 x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{4 x}{2 + 3 x}$