Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Etapa 1

Escreva $f (x) = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}$ como uma equação.

$y = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = {(\frac{\sqrt[7]{y}}{7})}^{3}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Simplifique ${(\frac{\sqrt[7]{y}}{7})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt[7]{y}}{7}$ .

$x = \frac{{\sqrt[7]{y}}^{3}}{7^{3}}$

Etapa 3.1.2

Reescreva ${\sqrt[7]{y}}^{3}$ como $\sqrt[7]{y^{3}}$ .

$x = \frac{\sqrt[7]{y^{3}}}{7^{3}}$

Etapa 3.1.3

Eleve $7$ à potência de $3$ .

$x = \frac{\sqrt[7]{y^{3}}}{343}$

Etapa 3.2

Reescreva a equação como $\frac{\sqrt[7]{y^{3}}}{343} = x$ .

$\frac{\sqrt[7]{y^{3}}}{343} = x$

Etapa 3.3

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[7]{y^{3}}$ como $y^{\frac{3}{7}}$ .

$\frac{y^{\frac{3}{7}}}{343} = x$

Etapa 3.4

Multiplique os dois lados da equação por $343$ .

$343 \frac{y^{\frac{3}{7}}}{343} = 343 x$

Etapa 3.5

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Cancele o fator comum de $343$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.1

Cancele o fator comum.

$343 \frac{y^{\frac{3}{7}}}{343} = 343 x$

Etapa 3.5.1.2

Reescreva a expressão.

$y^{\frac{3}{7}} = 343 x$

Etapa 3.6

Eleve cada lado da equação à potência de $\frac{7}{3}$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(y^{\frac{3}{7}})}^{\frac{7}{3}} = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

Etapa 3.7

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.1

Simplifique ${(y^{\frac{3}{7}})}^{\frac{7}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{3}{7}})}^{\frac{7}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3}} = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

Etapa 3.7.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3}} = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

Etapa 3.7.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

Etapa 3.7.1.1.1.3

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

Etapa 3.7.1.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$y^{1} = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

Etapa 3.7.1.1.2

Simplifique.

$y = {(343 x)}^{\frac{7}{3}}$

Etapa 3.7.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.1

Simplifique ${(343 x)}^{\frac{7}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.1.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $343 x$ .

$y = 343^{\frac{7}{3}} x^{\frac{7}{3}}$

Etapa 3.7.2.1.1.2

Reescreva $343$ como $7^{3}$ .

$y = {(7^{3})}^{\frac{7}{3}} x^{\frac{7}{3}}$

Etapa 3.7.2.1.1.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 7^{3 (\frac{7}{3})} x^{\frac{7}{3}}$

Etapa 3.7.2.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y = 7^{3 (\frac{7}{3})} x^{\frac{7}{3}}$

Etapa 3.7.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y = 7^{7} x^{\frac{7}{3}}$

Etapa 3.7.2.1.3

Eleve $7$ à potência de $7$ .

$y = 823543 x^{\frac{7}{3}}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = 823543 x^{\frac{7}{3}}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = 823543 x^{\frac{7}{3}}$ é o inverso de $f (x) = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 {({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3})}^{\frac{7}{3}}$

Etapa 5.2.3

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3})}^{\frac{7}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3 (\frac{7}{3})}$

Etapa 5.2.3.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3 (\frac{7}{3})}$

Etapa 5.2.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{7}$

Etapa 5.2.3.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt[7]{x}}{7}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{{\sqrt[7]{x}}^{7}}{7^{7}})$

Etapa 5.2.4

Reescreva ${\sqrt[7]{x}}^{7}$ como $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[7]{x}$ como $x^{\frac{1}{7}}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{{(x^{\frac{1}{7}})}^{7}}{7^{7}})$

Etapa 5.2.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{7^{7}})$

Etapa 5.2.4.3

Combine $\frac{1}{7}$ e $7$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x^{\frac{7}{7}}}{7^{7}})$

Etapa 5.2.4.4

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x^{\frac{7}{7}}}{7^{7}})$

Etapa 5.2.4.4.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x}{7^{7}})$

Etapa 5.2.4.5

Simplifique.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x}{7^{7}})$

Etapa 5.2.5

Eleve $7$ à potência de $7$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x}{823543})$

Etapa 5.2.6

Cancele o fator comum de $823543$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = 823543 (\frac{x}{823543})$

Etapa 5.2.6.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (823543 x^{\frac{7}{3}})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = {(\frac{\sqrt[7]{823543 x^{\frac{7}{3}}}}{7})}^{3}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Reescreva $823543 x^{\frac{7}{3}}$ como ${(7 x^{\frac{1}{3}})}^{7}$ .

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = {(\frac{\sqrt[7]{{(7 x^{\frac{1}{3}})}^{7}}}{7})}^{3}$

Etapa 5.3.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = {(\frac{7 x^{\frac{1}{3}}}{7})}^{3}$

Etapa 5.3.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = {(\frac{7 x^{\frac{1}{3}}}{7})}^{3}$

Etapa 5.3.4.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.2.1

Divida $x^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Etapa 5.3.4.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Etapa 5.3.4.2.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Etapa 5.3.4.2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$f (823543 x^{\frac{7}{3}}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = 823543 x^{\frac{7}{3}}$ é o inverso de $f (x) = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{7})}^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = 823543 x^{\frac{7}{3}}$