Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1 + \sqrt{1 - x}}{\sqrt{4 x - 2 x^{2}}}$

Etapa 1

Defina o radicando em $\sqrt{1 - x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$1 - x \geq 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da desigualdade.

$- x \geq - 1$

Etapa 2.2

Divida cada termo em $- x \geq - 1$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Divida cada termo em $- x \geq - 1$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$x \leq 1$

Etapa 3

Defina o radicando em $\sqrt{4 x - 2 x^{2}}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$4 x - 2 x^{2} \geq 0$

Etapa 4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Converta a desigualdade em uma equação.

$4 x - 2 x^{2} = 0$

Etapa 4.2

Fatore $2 x$ de $4 x - 2 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Fatore $2 x$ de $4 x$ .

$2 x (2) - 2 x^{2} = 0$

Etapa 4.2.2

Fatore $2 x$ de $- 2 x^{2}$ .

$2 x (2) + 2 x (- x) = 0$

Etapa 4.2.3

Fatore $2 x$ de $2 x (2) + 2 x (- x)$ .

$2 x (2 - x) = 0$

Etapa 4.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$2 - x = 0$

Etapa 4.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 4.5

Defina $2 - x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Defina $2 - x$ como igual a $0$ .

$2 - x = 0$

Etapa 4.5.2

Resolva $2 - x = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- x = - 2$

Etapa 4.5.2.2

Divida cada termo em $- x = - 2$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 4.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 4.5.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 4.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.2.3.1

Divida $- 2$ por $- 1$ .

$x = 2$

Etapa 4.6

A solução final são todos os valores que tornam $2 x (2 - x) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 2$

Etapa 4.7

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Etapa 4.8

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 4.8.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 4.8.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$4 (- 2) - 2 {(- 2)}^{2} \geq 0$

Etapa 4.8.1.3

O lado esquerdo $- 16$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 4.8.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 4.8.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 1$

Etapa 4.8.2.2

Substitua $x$ por $1$ na desigualdade original.

$4 (1) - 2 {(1)}^{2} \geq 0$

Etapa 4.8.2.3

O lado esquerdo $2$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 4.8.3

Teste um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 4.8.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 4.8.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$4 (4) - 2 {(4)}^{2} \geq 0$

Etapa 4.8.3.3

O lado esquerdo $- 16$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 4.8.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Verdadeiro

$x > 2$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Verdadeiro

$x > 2$ Falso

Etapa 4.9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$0 \leq x \leq 2$

Etapa 5

Defina o denominador em $\frac{1 + \sqrt{1 - x}}{\sqrt{4 x - 2 x^{2}}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt{4 x - 2 x^{2}} = 0$

Etapa 6

Resolva $x$ .

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Etapa 6.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{4 x - 2 x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Etapa 6.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 6.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{4 x - 2 x^{2}}$ como ${(4 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.1

Simplifique ${({(4 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 6.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(4 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 6.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 6.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(4 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 6.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(4 x - 2 x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Etapa 6.2.2.1.2

Simplifique.

$4 x - 2 x^{2} = 0^{2}$

Etapa 6.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$4 x - 2 x^{2} = 0$

Etapa 6.3

Resolva $x$ .

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Etapa 6.3.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 6.3.1.1

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$4 u - 2 u^{2} = 0$

Etapa 6.3.1.2

Fatore $2 u$ de $4 u - 2 u^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.2.1

Fatore $2 u$ de $4 u$ .

$2 u (2) - 2 u^{2} = 0$

Etapa 6.3.1.2.2

Fatore $2 u$ de $- 2 u^{2}$ .

$2 u (2) + 2 u (- u) = 0$

Etapa 6.3.1.2.3

Fatore $2 u$ de $2 u (2) + 2 u (- u)$ .

$2 u (2 - u) = 0$

Etapa 6.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$2 x (2 - x) = 0$

Etapa 6.3.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$2 - x = 0$

Etapa 6.3.3

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 6.3.4

Defina $2 - x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.3.4.1

Defina $2 - x$ como igual a $0$ .

$2 - x = 0$

Etapa 6.3.4.2

Resolva $2 - x = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- x = - 2$

Etapa 6.3.4.2.2

Divida cada termo em $- x = - 2$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 6.3.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 6.3.4.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 6.3.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.2.2.3.1

Divida $- 2$ por $- 1$ .

$x = 2$

Etapa 6.3.5

A solução final são todos os valores que tornam $2 x (2 - x) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 2$

Etapa 7

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(0, 1]$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | 0 < x \leq 1}$

Etapa 8