Pré-cálculo Exemplos

$- 12 - 4 - \frac{4}{3} - \dots - \frac{4}{243}$

Etapa 1

Esta é uma progressão geométrica, pois existe uma razão comum entre cada termo. Nesse caso, multiplicar o termo anterior na progressão por $\frac{1}{3}$ resulta no próximo termo. Em outras palavras, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Progressão geométrica: $r = \frac{1}{3}$

Etapa 2

Use a fórmula de uma progressão geométrica $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ para encontrar o número de termos, $n$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Substitua os valores do primeiro termo, do último termo e da razão entre os termos na fórmula.

$\frac{4}{243} = 12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

Etapa 2.2

Resolva $n$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Reescreva a equação como $12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{4}{243}$ .

$12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{4}{243}$

Etapa 2.2.2

Divida cada termo em $12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{4}{243}$ por $12$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Divida cada termo em $12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{4}{243}$ por $12$ .

$\frac{12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}{12} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

Etapa 2.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}{12} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

Etapa 2.2.2.2.1.2

Divida ${(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ por $1$ .

${(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

Etapa 2.2.2.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

Etapa 2.2.2.2.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

Etapa 2.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{4}{243} \cdot \frac{1}{12}$

Etapa 2.2.2.3.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.3.2.1

Fatore $4$ de $12$ .

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{4}{243} \cdot \frac{1}{4 (3)}$

Etapa 2.2.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{4}{243} \cdot \frac{1}{4 \cdot 3}$

Etapa 2.2.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{1}{243} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 2.2.2.3.3

Multiplique $\frac{1}{243}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{1}{243 \cdot 3}$

Etapa 2.2.2.3.4

Multiplique $243$ por $3$ .

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{1}{729}$

Etapa 2.2.3

Multiplique os dois lados por $3^{n - 1}$ .

$\frac{1}{3^{n - 1}} \cdot 3^{n - 1} = \frac{1}{729} \cdot 3^{n - 1}$

Etapa 2.2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1.1

Cancele o fator comum de $3^{n - 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3^{n - 1}} \cdot 3^{n - 1} = \frac{1}{729} \cdot 3^{n - 1}$

Etapa 2.2.4.1.1.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{1}{729} \cdot 3^{n - 1}$

Etapa 2.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.2.1

Combine $\frac{1}{729}$ e $3^{n - 1}$ .

$1 = \frac{3^{n - 1}}{729}$

Etapa 2.2.5

Resolva $n$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Reescreva a equação como $\frac{3^{n - 1}}{729} = 1$ .

$\frac{3^{n - 1}}{729} = 1$

Etapa 2.2.5.2

Multiplique os dois lados da equação por $729$ .

$729 \frac{3^{n - 1}}{729} = 729 \cdot 1$

Etapa 2.2.5.3

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.1

Cancele o fator comum de $729$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$729 \frac{3^{n - 1}}{729} = 729 \cdot 1$

Etapa 2.2.5.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$3^{n - 1} = 729 \cdot 1$

Etapa 2.2.5.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.2.1

Multiplique $729$ por $1$ .

$3^{n - 1} = 729$

Etapa 2.2.5.4

Crie expressões equivalentes na equação que tenham bases iguais.

$3^{n - 1} = 3^{6}$

Etapa 2.2.5.5

Como as bases são iguais, as duas expressões só serão iguais quando os expoentes também forem iguais.

$n - 1 = 6$

Etapa 2.2.5.6

Mova todos os termos que não contêm $n$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.6.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$n = 6 + 1$

Etapa 2.2.5.6.2

Some $6$ e $1$ .

$n = 7$

Etapa 3

Use a fórmula da soma de uma progressão geométrica $S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$ para encontrar a soma.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua os valores do primeiro termo, da razão e do número de termos na fórmula da soma.

$S_{n} = \frac{- 12 ({(\frac{1}{3})}^{7} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3}$ .

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1^{7}}{3^{7}} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Etapa 3.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1}{3^{7}} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Etapa 3.2.1.3

Eleve $3$ à potência de $7$ .

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1}{2187} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Etapa 3.2.1.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2187}{2187}$ .

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1}{2187} - 1 \cdot \frac{2187}{2187})}{\frac{1}{3} - 1}$

Etapa 3.2.1.5

Combine $- 1$ e $\frac{2187}{2187}$ .

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1}{2187} + \frac{- 1 \cdot 2187}{2187})}{\frac{1}{3} - 1}$

Etapa 3.2.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$S_{n} = \frac{- 12 \frac{1 - 1 \cdot 2187}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

Etapa 3.2.1.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $2187$ .

$S_{n} = \frac{- 12 \frac{1 - 2187}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

Etapa 3.2.1.7.2

Subtraia $2187$ de $1$ .

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{- 2186}{2187})}{\frac{1}{3} - 1}$

Etapa 3.2.1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$S_{n} = \frac{- 12 \cdot - 1 \frac{2186}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

Etapa 3.2.1.9

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.9.1

Fatore o negativo.

$S_{n} = \frac{- (- 12 (\frac{2186}{2187}))}{\frac{1}{3} - 1}$

Etapa 3.2.1.9.2

Combine $- 12$ e $\frac{2186}{2187}$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{- 12 \cdot 2186}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

Etapa 3.2.1.9.3

Multiplique $- 12$ por $2186$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{- 26232}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

Etapa 3.2.1.10

Cancele o fator comum de $- 26232$ e $2187$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.10.1

Fatore $3$ de $- 26232$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{3 (- 8744)}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

Etapa 3.2.1.10.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.10.2.1

Fatore $3$ de $2187$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{3 \cdot - 8744}{3 \cdot 729}}{\frac{1}{3} - 1}$

Etapa 3.2.1.10.2.2

Cancele o fator comum.

$S_{n} = \frac{- \frac{3 \cdot - 8744}{3 \cdot 729}}{\frac{1}{3} - 1}$

Etapa 3.2.1.10.2.3

Reescreva a expressão.

$S_{n} = \frac{- \frac{- 8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1}$

Etapa 3.2.1.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$S_{n} = \frac{- - 1 \frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1}$

Etapa 3.2.1.12

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.12.1

Fatore o negativo.

$S_{n} = \frac{- - \frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1}$

Etapa 3.2.1.12.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$S_{n} = \frac{1 (\frac{8744}{729})}{\frac{1}{3} - 1}$

Etapa 3.2.1.12.3

Multiplique $\frac{8744}{729}$ por $1$ .

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Etapa 3.2.2.2

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Etapa 3.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Etapa 3.2.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.4.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1 - 3}{3}}$

Etapa 3.2.2.4.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{- 2}{3}}$

Etapa 3.2.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{- \frac{2}{3}}$

Etapa 3.2.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$S_{n} = \frac{8744}{729} (- \frac{3}{2})$

Etapa 3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3}{2}$ para o numerador.

$S_{n} = \frac{8744}{729} \cdot \frac{- 3}{2}$

Etapa 3.2.4.2

Fatore $2$ de $8744$ .

$S_{n} = \frac{2 (4372)}{729} \cdot \frac{- 3}{2}$

Etapa 3.2.4.3

Cancele o fator comum.

$S_{n} = \frac{2 \cdot 4372}{729} \cdot \frac{- 3}{2}$

Etapa 3.2.4.4

Reescreva a expressão.

$S_{n} = \frac{4372}{729} \cdot - 3$

Etapa 3.2.5

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.1

Fatore $3$ de $729$ .

$S_{n} = \frac{4372}{3 (243)} \cdot - 3$

Etapa 3.2.5.2

Fatore $3$ de $- 3$ .

$S_{n} = \frac{4372}{3 \cdot 243} \cdot (3 \cdot - 1)$

Etapa 3.2.5.3

Cancele o fator comum.

$S_{n} = \frac{4372}{3 \cdot 243} \cdot (3 \cdot - 1)$

Etapa 3.2.5.4

Reescreva a expressão.

$S_{n} = \frac{4372}{243} \cdot - 1$

Etapa 3.2.6

Combine $\frac{4372}{243}$ e $- 1$ .

$S_{n} = \frac{4372 \cdot - 1}{243}$

Etapa 3.2.7

Multiplique $4372$ por $- 1$ .

$S_{n} = \frac{- 4372}{243}$

Etapa 3.2.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$S_{n} = - \frac{4372}{243}$