Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 5 {(x - 5)}^{7}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 5 {(x - 5)}^{7}$ como uma equação.

$y = 5 {(x - 5)}^{7}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = 5 {(y - 5)}^{7}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $5 {(y - 5)}^{7} = x$ .

$5 {(y - 5)}^{7} = x$

Etapa 3.2

Divida cada termo em $5 {(y - 5)}^{7} = x$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 3.2.1

Divida cada termo em $5 {(y - 5)}^{7} = x$ por $5$ .

$\frac{5 {(y - 5)}^{7}}{5} = \frac{x}{5}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 {(y - 5)}^{7}}{5} = \frac{x}{5}$

Etapa 3.2.2.1.2

Divida ${(y - 5)}^{7}$ por $1$ .

${(y - 5)}^{7} = \frac{x}{5}$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y - 5 = \sqrt[7]{\frac{x}{5}}$

Etapa 3.4

Reescreva $\sqrt[7]{\frac{x}{5}}$ como $\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}}$ .

$y - 5 = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}}$

Etapa 3.5

Some $5$ aos dois lados da equação.

$y = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5$ é o inverso de $f (x) = 5 {(x - 5)}^{7}$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = \frac{\sqrt[7]{5 {(x - 5)}^{7}}}{\sqrt[7]{5}} + 5$

Etapa 5.2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.1

Combine $\sqrt[7]{5 {(x - 5)}^{7}}$ e $\sqrt[7]{5}$ em um único radical.

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = \sqrt[7]{\frac{5 {(x - 5)}^{7}}{5}} + 5$

Etapa 5.2.3.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 5.2.3.2.1

Reduza a expressão $\frac{5 {(x - 5)}^{7}}{5}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = \sqrt[7]{\frac{5 {(x - 5)}^{7}}{5}} + 5$

Etapa 5.2.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = \sqrt[7]{\frac{{(x - 5)}^{7}}{1}} + 5$

Etapa 5.2.3.2.2

Divida ${(x - 5)}^{7}$ por $1$ .

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = \sqrt[7]{{(x - 5)}^{7}} + 5$

Etapa 5.2.3.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = x - 5 + 5$

Etapa 5.2.4

Combine os termos opostos em $x - 5 + 5$ .

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Etapa 5.2.4.1

Some $- 5$ e $5$ .

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = x + 0$

Etapa 5.2.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (5 {(x - 5)}^{7}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 {((\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) - 5)}^{7}$

Etapa 5.3.3

Combine os termos opostos em $(\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) - 5$ .

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Etapa 5.3.3.1

Subtraia $5$ de $5$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 {(\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 0)}^{7}$

Etapa 5.3.3.2

Some $\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}}$ e $0$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 {(\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}})}^{7}$

Etapa 5.3.4

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{{\sqrt[7]{x}}^{7}}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

Etapa 5.3.5

Reescreva ${\sqrt[7]{x}}^{7}$ como $x$ .

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Etapa 5.3.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[7]{x}$ como $x^{\frac{1}{7}}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{{(x^{\frac{1}{7}})}^{7}}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

Etapa 5.3.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

Etapa 5.3.5.3

Combine $\frac{1}{7}$ e $7$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

Etapa 5.3.5.4

Cancele o fator comum de $7$ .

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Etapa 5.3.5.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

Etapa 5.3.5.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

Etapa 5.3.5.5

Simplifique.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{{\sqrt[7]{5}}^{7}})$

Etapa 5.3.6

Reescreva ${\sqrt[7]{5}}^{7}$ como $5$ .

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Etapa 5.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[7]{5}$ como $5^{\frac{1}{7}}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{{(5^{\frac{1}{7}})}^{7}})$

Etapa 5.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{5^{\frac{1}{7} \cdot 7}})$

Etapa 5.3.6.3

Combine $\frac{1}{7}$ e $7$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{5^{\frac{7}{7}}})$

Etapa 5.3.6.4

Cancele o fator comum de $7$ .

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Etapa 5.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{5^{\frac{7}{7}}})$

Etapa 5.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{5})$

Etapa 5.3.6.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{5})$

Etapa 5.3.7

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 5.3.7.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = 5 (\frac{x}{5})$

Etapa 5.3.7.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5$ é o inverso de $f (x) = 5 {(x - 5)}^{7}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{\sqrt[7]{5}} + 5$