Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 6 x^{5} - 1$ ; find $f^{- 1} (x)$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 6 x^{5} - 1$ como uma equação.

$y = 6 x^{5} - 1$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = 6 y^{5} - 1$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $6 y^{5} - 1 = x$ .

$6 y^{5} - 1 = x$

Etapa 3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$6 y^{5} = x + 1$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $6 y^{5} = x + 1$ por $6$ e simplifique.

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Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $6 y^{5} = x + 1$ por $6$ .

$\frac{6 y^{5}}{6} = \frac{x}{6} + \frac{1}{6}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 y^{5}}{6} = \frac{x}{6} + \frac{1}{6}$

Etapa 3.3.2.1.2

Divida $y^{5}$ por $1$ .

$y^{5} = \frac{x}{6} + \frac{1}{6}$

Etapa 3.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \sqrt[5]{\frac{x}{6} + \frac{1}{6}}$

Etapa 3.5

Simplifique $\sqrt[5]{\frac{x}{6} + \frac{1}{6}}$ .

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Etapa 3.5.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \sqrt[5]{\frac{x + 1}{6}}$

Etapa 3.5.2

Reescreva $\sqrt[5]{\frac{x + 1}{6}}$ como $\frac{\sqrt[5]{x + 1}}{\sqrt[5]{6}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1}}{\sqrt[5]{6}}$

Etapa 3.5.3

Multiplique $\frac{\sqrt[5]{x + 1}}{\sqrt[5]{6}}$ por $\frac{{\sqrt[5]{6}}^{4}}{{\sqrt[5]{6}}^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1}}{\sqrt[5]{6}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{6}}^{4}}{{\sqrt[5]{6}}^{4}}$

Etapa 3.5.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 3.5.4.1

Multiplique $\frac{\sqrt[5]{x + 1}}{\sqrt[5]{6}}$ por $\frac{{\sqrt[5]{6}}^{4}}{{\sqrt[5]{6}}^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}{\sqrt[5]{6} {\sqrt[5]{6}}^{4}}$

Etapa 3.5.4.2

Eleve $\sqrt[5]{6}$ à potência de $1$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}{{\sqrt[5]{6}}^{1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}$

Etapa 3.5.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}{{\sqrt[5]{6}}^{1 + 4}}$

Etapa 3.5.4.4

Some $1$ e $4$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}{{\sqrt[5]{6}}^{5}}$

Etapa 3.5.4.5

Reescreva ${\sqrt[5]{6}}^{5}$ como $6$ .

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Etapa 3.5.4.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[5]{6}$ como $6^{\frac{1}{5}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}{{(6^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Etapa 3.5.4.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}{6^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Etapa 3.5.4.5.3

Combine $\frac{1}{5}$ e $5$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}{6^{\frac{5}{5}}}$

Etapa 3.5.4.5.4

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 3.5.4.5.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}{6^{\frac{5}{5}}}$

Etapa 3.5.4.5.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}{6^{1}}$

Etapa 3.5.4.5.5

Avalie o expoente.

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} {\sqrt[5]{6}}^{4}}{6}$

Etapa 3.5.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.5.1

Reescreva ${\sqrt[5]{6}}^{4}$ como $\sqrt[5]{6^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} \sqrt[5]{6^{4}}}{6}$

Etapa 3.5.5.2

Eleve $6$ à potência de $4$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 1} \sqrt[5]{1296}}{6}$

Etapa 3.5.6

Simplifique com fatoração.

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Etapa 3.5.6.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \frac{\sqrt[5]{(x + 1) \cdot 1296}}{6}$

Etapa 3.5.6.2

Reordene os fatores em $\frac{\sqrt[5]{(x + 1) \cdot 1296}}{6}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}$ é o inverso de $f (x) = 6 x^{5} - 1$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (6 x^{5} - 1)$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (6 x^{5} - 1) = \frac{\sqrt[5]{1296 ((6 x^{5} - 1) + 1)}}{6}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.3.1

Some $- 1$ e $1$ .

$f^{- 1} (6 x^{5} - 1) = \frac{\sqrt[5]{1296 (6 x^{5} + 0)}}{6}$

Etapa 5.2.3.2

Some $6 x^{5}$ e $0$ .

$f^{- 1} (6 x^{5} - 1) = \frac{\sqrt[5]{1296 \cdot (6 x^{5})}}{6}$

Etapa 5.2.3.3

Multiplique $1296$ por $6$ .

$f^{- 1} (6 x^{5} - 1) = \frac{\sqrt[5]{7776 x^{5}}}{6}$

Etapa 5.2.3.4

Reescreva $7776 x^{5}$ como ${(6 x)}^{5}$ .

$f^{- 1} (6 x^{5} - 1) = \frac{\sqrt[5]{{(6 x)}^{5}}}{6}$

Etapa 5.2.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$f^{- 1} (6 x^{5} - 1) = \frac{6 x}{6}$

Etapa 5.2.4

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 5.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (6 x^{5} - 1) = \frac{6 x}{6}$

Etapa 5.2.4.2

Divida $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (6 x^{5} - 1) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 {(\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6})}^{5} - 1$

Etapa 5.3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}^{5}}{6^{5}}) - 1$

Etapa 5.3.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.3.2.1

Reescreva ${\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}^{5}$ como $1296 (x + 1)$ .

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Etapa 5.3.3.2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[5]{1296 (x + 1)}$ como ${(1296 (x + 1))}^{\frac{1}{5}}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{{({(1296 (x + 1))}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{6^{5}}) - 1$

Etapa 5.3.3.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{{(1296 (x + 1))}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{6^{5}}) - 1$

Etapa 5.3.3.2.1.3

Combine $\frac{1}{5}$ e $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{{(1296 (x + 1))}^{\frac{5}{5}}}{6^{5}}) - 1$

Etapa 5.3.3.2.1.4

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{{(1296 (x + 1))}^{\frac{5}{5}}}{6^{5}}) - 1$

Etapa 5.3.3.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{1296 (x + 1)}{6^{5}}) - 1$

Etapa 5.3.3.2.1.5

Simplifique.

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{1296 (x + 1)}{6^{5}}) - 1$

Etapa 5.3.3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{1296 x + 1296 \cdot 1}{6^{5}}) - 1$

Etapa 5.3.3.2.3

Multiplique $1296$ por $1$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{1296 x + 1296}{6^{5}}) - 1$

Etapa 5.3.3.2.4

Fatore $1296$ de $1296 x + 1296$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.4.1

Fatore $1296$ de $1296 x$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{1296 (x) + 1296}{6^{5}}) - 1$

Etapa 5.3.3.2.4.2

Fatore $1296$ de $1296$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{1296 (x) + 1296 (1)}{6^{5}}) - 1$

Etapa 5.3.3.2.4.3

Fatore $1296$ de $1296 (x) + 1296 (1)$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{1296 (x + 1)}{6^{5}}) - 1$

Etapa 5.3.3.3

Eleve $6$ à potência de $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{1296 (x + 1)}{7776}) - 1$

Etapa 5.3.3.4

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 5.3.3.4.1

Fatore $6$ de $7776$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{1296 (x + 1)}{6 (1296)}) - 1$

Etapa 5.3.3.4.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{1296 (x + 1)}{6 \cdot 1296}) - 1$

Etapa 5.3.3.4.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = \frac{1296 (x + 1)}{1296} - 1$

Etapa 5.3.3.5

Cancele o fator comum de $1296$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.5.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = \frac{1296 (x + 1)}{1296} - 1$

Etapa 5.3.3.5.2

Divida $x + 1$ por $1$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = x + 1 - 1$

Etapa 5.3.4

Combine os termos opostos em $x + 1 - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = x + 0$

Etapa 5.3.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}$ é o inverso de $f (x) = 6 x^{5} - 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{1296 (x + 1)}}{6}$