Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{x - \sqrt{x + 2}}$

Etapa 1

Defina o radicando em $\sqrt{x + 2}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x + 2 \geq 0$

Etapa 2

Subtraia $2$ dos dois lados da desigualdade.

$x \geq - 2$

Etapa 3

Defina o radicando em $\sqrt{x - \sqrt{x + 2}}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x - \sqrt{x + 2} \geq 0$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Subtraia $x$ dos dois lados da desigualdade.

$- \sqrt{x + 2} \geq - x$

Etapa 4.2

Para remover o radical no lado esquerdo da desigualdade, eleve ao quadrado os dois lados da desigualdade.

${(- \sqrt{x + 2})}^{2} \geq {(- x)}^{2}$

Etapa 4.3

Simplifique cada lado da desigualdade.

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Etapa 4.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + 2}$ como ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- x)}^{2}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.3.2.1

Simplifique ${(- {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.3.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- x)}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- x)}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.3

Multiplique ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ por $1$ .

${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- x)}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.4

Multiplique os expoentes em ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.3.2.1.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- x)}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.4.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.2.1.4.2.1

Cancele o fator comum.

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- x)}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.4.2.2

Reescreva a expressão.

${(x + 2)}^{1} \geq {(- x)}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.5

Simplifique.

$x + 2 \geq {(- x)}^{2}$

Etapa 4.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.3.1

Simplifique ${(- x)}^{2}$ .

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Etapa 4.3.3.1.1

Aplique a regra do produto a $- x$ .

$x + 2 \geq {(- 1)}^{2} x^{2}$

Etapa 4.3.3.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$x + 2 \geq 1 x^{2}$

Etapa 4.3.3.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$x + 2 \geq x^{2}$

Etapa 4.4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.4.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da desigualdade.

$x + 2 - x^{2} \geq 0$

Etapa 4.4.2

Converta a desigualdade em uma equação.

$x + 2 - x^{2} = 0$

Etapa 4.4.3

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.4.3.1

Fatore $- 1$ de $x + 2 - x^{2}$ .

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Etapa 4.4.3.1.1

Reordene a expressão.

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Etapa 4.4.3.1.1.1

Mova $2$ .

$x - x^{2} + 2 = 0$

Etapa 4.4.3.1.1.2

Reordene $x$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} + x + 2 = 0$

Etapa 4.4.3.1.2

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + x + 2 = 0$

Etapa 4.4.3.1.3

Fatore $- 1$ de $x$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) + 2 = 0$

Etapa 4.4.3.1.4

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 2 = 0$

Etapa 4.4.3.1.5

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (- x)$ .

$- (x^{2} - x) - 1 \cdot - 2 = 0$

Etapa 4.4.3.1.6

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} - x) - 1 (- 2)$ .

$- (x^{2} - x - 2) = 0$

Etapa 4.4.3.2

Fatore.

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Etapa 4.4.3.2.1

Fatore $x^{2} - x - 2$ usando o método AC.

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Etapa 4.4.3.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 2$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 2, 1$

Etapa 4.4.3.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- ((x - 2) (x + 1)) = 0$

Etapa 4.4.3.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (x - 2) (x + 1) = 0$

Etapa 4.4.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 4.4.5

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.4.5.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 4.4.5.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 4.4.6

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.4.6.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 4.4.6.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 4.4.7

A solução final são todos os valores que tornam $- (x - 2) (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 2, - 1$

Etapa 4.5

Encontre o domínio de $x - \sqrt{x + 2}$ .

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Etapa 4.5.1

Defina o radicando em $\sqrt{x + 2}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x + 2 \geq 0$

Etapa 4.5.2

Subtraia $2$ dos dois lados da desigualdade.

$x \geq - 2$

Etapa 4.5.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[- 2, \infty)$

Etapa 4.6

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \geq 2$

Etapa 5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[2, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \geq 2}$

Etapa 6