Pré-cálculo Exemplos

$\sqrt{\frac{x^{2}}{x + 1}}$

Etapa 1

Defina o radicando em $\sqrt{\frac{x^{2}}{x + 1}}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\frac{x^{2}}{x + 1} \geq 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 2.3

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 2.3.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 2.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 2.3.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.4

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 2.5

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 0$

$x = - 1$

Etapa 2.6

Consolide as soluções.

$x = 0, - 1$

Etapa 2.7

Encontre o domínio de $\frac{x^{2}}{x + 1}$ .

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Etapa 2.7.1

Defina o denominador em $\frac{x^{2}}{x + 1}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x + 1 = 0$

Etapa 2.7.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 2.7.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Etapa 2.8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

Etapa 2.9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 2.9.1

Teste um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.9.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 2.9.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$\frac{{(- 4)}^{2}}{(- 4) + 1} \geq 0$

Etapa 2.9.1.3

O lado esquerdo $- 5.\overline{3}$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 2.9.2

Teste um valor no intervalo $- 1 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.9.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 1 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 0.5$

Etapa 2.9.2.2

Substitua $x$ por $- 0.5$ na desigualdade original.

$\frac{{(- 0.5)}^{2}}{(- 0.5) + 1} \geq 0$

Etapa 2.9.2.3

O lado esquerdo $0.5$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 2.9.3

Teste um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.9.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 2.9.3.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\frac{{(2)}^{2}}{(2) + 1} \geq 0$

Etapa 2.9.3.3

O lado esquerdo $1.\overline{3}$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 2.9.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 0$ Verdadeiro

$x > 0$ Verdadeiro

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 0$ Verdadeiro

$x > 0$ Verdadeiro

Etapa 2.10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 1 < x \leq 0$ ou $x \geq 0$

Etapa 2.11

Combine os intervalos.

$x > - 1$

Etapa 3

Defina o denominador em $\frac{x^{2}}{x + 1}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x + 1 = 0$

Etapa 4

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- 1, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x > - 1}$

Etapa 6