Pré-cálculo Exemplos

$- \frac{5 x - 4}{(x + 1) (x - 2)}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Etapa 1.2

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 2}$

Etapa 1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(x + 1) (x - 2)$ .

$- \frac{(5 x - 4) (x + 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{(5 x - 4) (x + 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{(5 x - 4) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x + 1) (x - 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $x - 2$ .

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{(5 x - 4) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x + 1) (x - 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 1.5.2

Divida $5 x - 4$ por $1$ .

$- (5 x - 4) = \frac{(A) (x + 1) (x - 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$- (5 x) + 4 = \frac{(A) (x + 1) (x - 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 1.7

Multiplique.

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Etapa 1.7.1

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- 5 x + 4 = \frac{(A) (x + 1) (x - 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 1.7.2

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$- 5 x + 4 = \frac{(A) (x + 1) (x - 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 1.8

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.8.1

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 1.8.1.1

Cancele o fator comum.

$- 5 x + 4 = \frac{A (x + 1) (x - 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 1.8.1.2

Divida $(A) (x - 2)$ por $1$ .

$- 5 x + 4 = (A) (x - 2) + \frac{(B) (x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 1.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 5 x + 4 = A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 1.8.3

Mova $- 2$ para a esquerda de $A$ .

$- 5 x + 4 = A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 1.8.4

Cancele o fator comum de $x - 2$ .

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Etapa 1.8.4.1

Cancele o fator comum.

$- 5 x + 4 = A x - 2 A + \frac{(B) (x + 1) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 1.8.4.2

Divida $(B) (x + 1)$ por $1$ .

$- 5 x + 4 = A x - 2 A + (B) (x + 1)$

Etapa 1.8.5

Aplique a propriedade distributiva.

$- 5 x + 4 = A x - 2 A + B x + B \cdot 1$

Etapa 1.8.6

Multiplique $B$ por $1$ .

$- 5 x + 4 = A x - 2 A + B x + B$

Etapa 1.9

Mova $- 2 A$ .

$- 5 x + 4 = A x + B x - 2 A + B$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 5 = A + B$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$4 = - 2 A + B$

Etapa 2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$- 5 = A + B$

$4 = - 2 A + B$

$- 5 = A + B$

$4 = - 2 A + B$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Resolva $A$ em $- 5 = A + B$ .

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Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $A + B = - 5$ .

$A + B = - 5$

$4 = - 2 A + B$

Etapa 3.1.2

Subtraia $B$ dos dois lados da equação.

$A = - 5 - B$

$4 = - 2 A + B$

$A = - 5 - B$

$4 = - 2 A + B$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $- 5 - B$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $4 = - 2 A + B$ por $- 5 - B$ .

$4 = - 2 (- 5 - B) + B$

$A = - 5 - B$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $- 2 (- 5 - B) + B$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 = - 2 \cdot - 5 - 2 (- B) + B$

$A = - 5 - B$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Multiplique $- 2$ por $- 5$ .

$4 = 10 - 2 (- B) + B$

$A = - 5 - B$

Etapa 3.2.2.1.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$4 = 10 + 2 B + B$

$A = - 5 - B$

$4 = 10 + 2 B + B$

$A = - 5 - B$

Etapa 3.2.2.1.2

Some $2 B$ e $B$ .

$4 = 10 + 3 B$

$A = - 5 - B$

$4 = 10 + 3 B$

$A = - 5 - B$

$4 = 10 + 3 B$

$A = - 5 - B$

$4 = 10 + 3 B$

$A = - 5 - B$

Etapa 3.3

Resolva $B$ em $4 = 10 + 3 B$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $10 + 3 B = 4$ .

$10 + 3 B = 4$

$A = - 5 - B$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Subtraia $10$ dos dois lados da equação.

$3 B = 4 - 10$

$A = - 5 - B$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $10$ de $4$ .

$3 B = - 6$

$A = - 5 - B$

$3 B = - 6$

$A = - 5 - B$

Etapa 3.3.3

Divida cada termo em $3 B = - 6$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 3.3.3.1

Divida cada termo em $3 B = - 6$ por $3$ .

$\frac{3 B}{3} = \frac{- 6}{3}$

$A = - 5 - B$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 B}{3} = \frac{- 6}{3}$

$A = - 5 - B$

Etapa 3.3.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 6}{3}$

$A = - 5 - B$

$B = \frac{- 6}{3}$

$A = - 5 - B$

$B = \frac{- 6}{3}$

$A = - 5 - B$

Etapa 3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.3.1

Divida $- 6$ por $3$ .

$B = - 2$

$A = - 5 - B$

$B = - 2$

$A = - 5 - B$

$B = - 2$

$A = - 5 - B$

$B = - 2$

$A = - 5 - B$

Etapa 3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $- 2$ em cada equação.

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Etapa 3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = - 5 - B$ por $- 2$ .

$A = - 5 - (- 2)$

$B = - 2$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.1

Simplifique $- 5 - (- 2)$ .

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Etapa 3.4.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$A = - 5 + 2$

$B = - 2$

Etapa 3.4.2.1.2

Some $- 5$ e $2$ .

$A = - 3$

$B = - 2$

$A = - 3$

$B = - 2$

$A = - 3$

$B = - 2$

$A = - 3$

$B = - 2$

Etapa 3.5

Liste todas as soluções.

$A = - 3, B = - 2$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 2}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{- 3}{x + 1} + \frac{- 2}{x - 2}$