Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{3} + 4 x^{2} - 21 x}{x^{2} + 4 x - 21}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{x^{3} + 4 x^{2} - 21 x}{x^{2} + 4 x - 21}$ é indefinida.

$x = - 7, x = 3$

Etapa 2

As assíntotas verticais ocorrem em áreas de descontinuidade infinita.

Nenhuma assíntota vertical

Etapa 3

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 4

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Etapa 5

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 6

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 6.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.1.1

Fatore $x$ de $x^{3} + 4 x^{2} - 21 x$ .

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Etapa 6.1.1.1.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + 4 x^{2} - 21 x}{x^{2} + 4 x - 21}$

Etapa 6.1.1.1.2

Fatore $x$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x (4 x) - 21 x}{x^{2} + 4 x - 21}$

Etapa 6.1.1.1.3

Fatore $x$ de $- 21 x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x (4 x) + x \cdot - 21}{x^{2} + 4 x - 21}$

Etapa 6.1.1.1.4

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x (4 x)$ .

$\frac{x (x^{2} + 4 x) + x \cdot - 21}{x^{2} + 4 x - 21}$

Etapa 6.1.1.1.5

Fatore $x$ de $x (x^{2} + 4 x) + x \cdot - 21$ .

$\frac{x (x^{2} + 4 x - 21)}{x^{2} + 4 x - 21}$

Etapa 6.1.1.2

Fatore $x^{2} + 4 x - 21$ usando o método AC.

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Etapa 6.1.1.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 21$ e cuja soma é $4$ .

$- 3, 7$

Etapa 6.1.1.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{x ((x - 3) (x + 7))}{x^{2} + 4 x - 21}$

$\frac{x (x - 3) (x + 7)}{x^{2} + 4 x - 21}$

Etapa 6.1.2

Fatore $x^{2} + 4 x - 21$ usando o método AC.

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Etapa 6.1.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 21$ e cuja soma é $4$ .

$- 3, 7$

Etapa 6.1.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{x (x - 3) (x + 7)}{(x - 3) (x + 7)}$

Etapa 6.1.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 6.1.3.1

Cancele o fator comum de $x - 3$ .

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Etapa 6.1.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (x - 3) (x + 7)}{(x - 3) (x + 7)}$

Etapa 6.1.3.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x (x + 7)}{x + 7}$

Etapa 6.1.3.2

Cancele o fator comum de $x + 7$ .

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Etapa 6.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (x + 7)}{x + 7}$

Etapa 6.1.3.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x$

Etapa 6.2

Como não há parte polinomial da divisão polinomial, não há assíntotas oblíquas.

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 7

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Nenhuma assíntota vertical

Nenhuma assíntota horizontal

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 8