Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Etapa 1

Escreva $f (x) = {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ como uma equação.

$y = {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = {(y - 3)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como ${(y - 3)}^{\frac{1}{2}} = x$ .

${(y - 3)}^{\frac{1}{2}} = x$

Etapa 3.2

Eleve cada lado da equação à potência de $2$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${({(y - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Etapa 3.3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique ${({(y - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(y - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Etapa 3.3.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(y - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Etapa 3.3.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(y - 3)}^{1} = x^{2}$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique.

$y - 3 = x^{2}$

Etapa 3.4

Some $3$ aos dois lados da equação.

$y = x^{2} + 3$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 3$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = x^{2} + 3$ é o inverso de $f (x) = {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} ({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(x - 3)}^{\frac{1}{2}}) = {({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3$

Etapa 5.2.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(x - 3)}^{\frac{1}{2}}) = {(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3$

Etapa 5.2.3.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} ({(x - 3)}^{\frac{1}{2}}) = {(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3$

Etapa 5.2.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} ({(x - 3)}^{\frac{1}{2}}) = (x - 3) + 3$

Etapa 5.2.3.2

Simplifique.

$f^{- 1} ({(x - 3)}^{\frac{1}{2}}) = x - 3 + 3$

Etapa 5.2.4

Combine os termos opostos em $x - 3 + 3$ .

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Etapa 5.2.4.1

Some $- 3$ e $3$ .

$f^{- 1} ({(x - 3)}^{\frac{1}{2}}) = x + 0$

Etapa 5.2.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} ({(x - 3)}^{\frac{1}{2}}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (x^{2} + 3)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (x^{2} + 3) = {((x^{2} + 3) - 3)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 5.3.3

Combine os termos opostos em $(x^{2} + 3) - 3$ .

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Etapa 5.3.3.1

Subtraia $3$ de $3$ .

$f (x^{2} + 3) = {(x^{2} + 0)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 5.3.3.2

Some $x^{2}$ e $0$ .

$f (x^{2} + 3) = {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 5.3.4

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x^{2} + 3) = x^{2 (\frac{1}{2})}$

Etapa 5.3.4.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.2.1

Cancele o fator comum.

$f (x^{2} + 3) = x^{2 (\frac{1}{2})}$

Etapa 5.3.4.2.2

Reescreva a expressão.

$f (x^{2} + 3) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = x^{2} + 3$ é o inverso de $f (x) = {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 3$