Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{2 x^{3} + x^{2} - 3}{x^{2} + 1}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{2 x^{3} + x^{2} - 3}{x^{2} + 1}$ é indefinida.

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 2

As assíntotas verticais ocorrem em áreas de descontinuidade infinita.

Nenhuma assíntota vertical

Etapa 3

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 4

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Etapa 5

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 6

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 6.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$3$

Etapa 6.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

$2 x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$3$

Etapa 6.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$2 x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$2 x^{3}$

$0$

$2 x$

Etapa 6.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{3} + 0 + 2 x$ .

$2 x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$2 x^{3}$

$0$

$2 x$

Etapa 6.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$2 x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$2 x^{3}$

$0$

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

Etapa 6.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

						$2 x$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
					-	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$2 x$
							+	$x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$

Etapa 6.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

						$2 x$	+	$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
					-	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$2 x$
							+	$x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$

Etapa 6.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$2 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$2 x^{3}$

$0$

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$3$

$x^{2}$

$0$

$1$

Etapa 6.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} + 0 + 1$ .

						$2 x$	+	$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
					-	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$2 x$
							+	$x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
							-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$

Etapa 6.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

						$2 x$	+	$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
					-	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$2 x$
							+	$x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
							-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$2 x$	-	$4$

Etapa 6.11

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$2 x + 1 + \frac{- 2 x - 4}{x^{2} + 1}$

Etapa 6.12

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = 2 x + 1$

Etapa 7

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Nenhuma assíntota vertical

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = 2 x + 1$

Etapa 8