Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{3 x^{3} + 2 x^{2}}{x^{2} + x}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{3 x^{3} + 2 x^{2}}{x^{2} + x}$ é indefinida.

$x = - 1, x = 0$

Etapa 2

$\frac{3 x^{3} + 2 x^{2}}{x^{2} + x}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $- 1$ a partir da esquerda e $\frac{3 x^{3} + 2 x^{2}}{x^{2} + x}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $- 1$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = - 1$

Etapa 3

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 4

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Etapa 5

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 6

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Fatore $x^{2}$ de $3 x^{3} + 2 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1

Fatore $x^{2}$ de $3 x^{3}$ .

$\frac{x^{2} (3 x) + 2 x^{2}}{x^{2} + x}$

Etapa 6.1.1.2

Fatore $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot 2}{x^{2} + x}$

Etapa 6.1.1.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot 2$ .

$\frac{x^{2} (3 x + 2)}{x^{2} + x}$

Etapa 6.1.2

Fatore $x$ de $x^{2} + x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (3 x + 2)}{x \cdot x + x}$

Etapa 6.1.2.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{2} (3 x + 2)}{x \cdot x + x^{1}}$

Etapa 6.1.2.3

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x^{2} (3 x + 2)}{x \cdot x + x \cdot 1}$

Etapa 6.1.2.4

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$\frac{x^{2} (3 x + 2)}{x (x + 1)}$

Etapa 6.1.3

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.1

Fatore $x$ de $x^{2} (3 x + 2)$ .

$\frac{x (x (3 x + 2))}{x (x + 1)}$

Etapa 6.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (x (3 x + 2))}{x (x + 1)}$

Etapa 6.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x (3 x + 2)}{x + 1}$

Etapa 6.2

Expanda $x (3 x + 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (3 x) + x \cdot 2}{x + 1}$

Etapa 6.2.2

Remova os parênteses.

$\frac{x \cdot (3 x) + x \cdot 2}{x + 1}$

Etapa 6.2.3

Reordene $x$ e $3$ .

$\frac{3 \cdot (x \cdot x) + x \cdot 2}{x + 1}$

Etapa 6.2.4

Reordene $x$ e $2$ .

$\frac{3 \cdot (x \cdot x) + 2 \cdot x}{x + 1}$

Etapa 6.2.5

Multiplique $3$ por $x$ .

$\frac{3 x \cdot x + 2 x}{x + 1}$

Etapa 6.2.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{3 (x \cdot x) + 2 x}{x + 1}$

Etapa 6.2.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{3 (x \cdot x) + 2 x}{x + 1}$

Etapa 6.2.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 x^{1 + 1} + 2 x}{x + 1}$

Etapa 6.2.9

Some $1$ e $1$ .

$\frac{3 x^{2} + 2 x}{x + 1}$

Etapa 6.3

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$3 x^{2}$

$2 x$

$0$

Etapa 6.4

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $3 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$3 x$
	$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$

Etapa 6.5

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$3 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$3 x^{2}$	+	$3 x$

Etapa 6.6

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $3 x^{2} + 3 x$ .

				$3 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$

Etapa 6.7

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$3 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x$

Etapa 6.8

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$3 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x$	+	$0$

Etapa 6.9

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$3 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x$	+	$0$

Etapa 6.10

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$3 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x$	+	$0$
					-	$x$	-	$1$

Etapa 6.11

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x - 1$ .

				$3 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$

Etapa 6.12

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$3 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$
							+	$1$

Etapa 6.13

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$3 x - 1 + \frac{1}{x + 1}$

Etapa 6.14

Divida a solução na parte polinomial e no resto.

$3 x - 1 + \frac{x}{x^{2} + x}$

Etapa 6.15

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = 3 x - 1$

Etapa 7

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = - 1$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = 3 x - 1$

Etapa 8