Pré-cálculo Exemplos

$\log_{5} (5^{x + 1} - 20) = x$

Etapa 1

Defina o argumento em $\log_{5} (5^{x + 1} - 20)$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$5^{x + 1} - 20 > 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Some $20$ aos dois lados da desigualdade.

$5^{x + 1} > 20$

Etapa 2.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (5^{x + 1}) > \ln (20)$

Etapa 2.3

Expanda $\ln (5^{x + 1})$ movendo $x + 1$ para fora do logaritmo.

$(x + 1) \ln (5) > \ln (20)$

Etapa 2.4

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.1

Simplifique $(x + 1) \ln (5)$ .

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Etapa 2.4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x \ln (5) + 1 \ln (5) > \ln (20)$

Etapa 2.4.1.2

Multiplique $\ln (5)$ por $1$ .

$x \ln (5) + \ln (5) > \ln (20)$

Etapa 2.5

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$x \ln (5) + \ln (5) - \ln (20) = 0$

Etapa 2.6

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (5) + \ln (\frac{5}{20}) = 0$

Etapa 2.7

Cancele o fator comum de $5$ e $20$ .

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Etapa 2.7.1

Fatore $5$ de $5$ .

$x \ln (5) + \ln (\frac{5 (1)}{20}) = 0$

Etapa 2.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.7.2.1

Fatore $5$ de $20$ .

$x \ln (5) + \ln (\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 4}) = 0$

Etapa 2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$x \ln (5) + \ln (\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 4}) = 0$

Etapa 2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$x \ln (5) + \ln (\frac{1}{4}) = 0$

Etapa 2.8

Subtraia $\ln (\frac{1}{4})$ dos dois lados da equação.

$x \ln (5) = - \ln (\frac{1}{4})$

Etapa 2.9

Divida cada termo em $x \ln (5) = - \ln (\frac{1}{4})$ por $\ln (5)$ e simplifique.

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Etapa 2.9.1

Divida cada termo em $x \ln (5) = - \ln (\frac{1}{4})$ por $\ln (5)$ .

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{\ln (5)}$

Etapa 2.9.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.9.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (5)$ .

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Etapa 2.9.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{\ln (5)}$

Etapa 2.9.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{\ln (5)}$

Etapa 2.9.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.9.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{\ln (5)}$

Etapa 2.10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x > - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{\ln (5)}$

Etapa 3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{\ln (5)}, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x > - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{\ln (5)}}$

Etapa 4