Pré-cálculo Exemplos

$\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} - a + a b - b}$

Etapa 1

Defina o denominador em $\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} - a + a b - b}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$a^{2} - a + a b - b = 0$

Etapa 2

Resolva $a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 1 + b$ e $c = - b$ na fórmula quadrática e resolva $a$ .

$\frac{- (- 1 + b) \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- b))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.1.3

Reescreva ${(- 1 + b)}^{2}$ como $(- 1 + b) (- 1 + b)$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{(- 1 + b) (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.1.4

Expanda $(- 1 + b) (- 1 + b)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 (- 1 + b) + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.1.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.1.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.5.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.1.5.1.2

Reescreva $- 1 b$ como $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.1.5.1.3

Mova $- 1$ para a esquerda de $b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - 1 \cdot b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.1.5.1.4

Reescreva $- 1 b$ como $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.1.5.1.5

Multiplique $b$ por $b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.1.5.2

Subtraia $b$ de $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.1.6

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.6.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.1.6.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} + 4 b}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.1.7

Some $- 2 b$ e $4 b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 + b^{2} + 2 b}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.1.8

Reordene os termos.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.1.9

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.9.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.1.9.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 b = 2 \cdot b \cdot 1$

Etapa 2.3.1.9.3

Reescreva o polinômio.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 \cdot b \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.1.9.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = b$ e $b = 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(b + 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.1.10

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2}$

Etapa 2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.1.3

Reescreva ${(- 1 + b)}^{2}$ como $(- 1 + b) (- 1 + b)$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{(- 1 + b) (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.1.4

Expanda $(- 1 + b) (- 1 + b)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 (- 1 + b) + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.1.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.1.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.5.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.1.5.1.2

Reescreva $- 1 b$ como $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.1.5.1.3

Mova $- 1$ para a esquerda de $b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - 1 \cdot b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.1.5.1.4

Reescreva $- 1 b$ como $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.1.5.1.5

Multiplique $b$ por $b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.1.5.2

Subtraia $b$ de $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.1.6

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.6.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.1.6.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} + 4 b}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.1.7

Some $- 2 b$ e $4 b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 + b^{2} + 2 b}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.1.8

Reordene os termos.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.1.9

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.9.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.1.9.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 b = 2 \cdot b \cdot 1$

Etapa 2.4.1.9.3

Reescreva o polinômio.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 \cdot b \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.1.9.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = b$ e $b = 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(b + 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.1.10

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2}$

Etapa 2.4.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$a = \frac{1 - b + b + 1}{2}$

Etapa 2.4.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.1

Some $1$ e $1$ .

$a = \frac{- b + b + 2}{2}$

Etapa 2.4.4.2

Some $- b$ e $b$ .

$a = \frac{0 + 2}{2}$

Etapa 2.4.4.3

Some $0$ e $2$ .

$a = \frac{2}{2}$

Etapa 2.4.5

Divida $2$ por $2$ .

$a = 1$

Etapa 2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(- 1 + b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.1.3

Reescreva ${(- 1 + b)}^{2}$ como $(- 1 + b) (- 1 + b)$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{(- 1 + b) (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.1.4

Expanda $(- 1 + b) (- 1 + b)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 (- 1 + b) + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b (- 1 + b) - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.1.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.1.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1.5.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 1 b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.1.5.1.2

Reescreva $- 1 b$ como $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b + b \cdot - 1 + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.1.5.1.3

Mova $- 1$ para a esquerda de $b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - 1 \cdot b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.1.5.1.4

Reescreva $- 1 b$ como $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b \cdot b - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.1.5.1.5

Multiplique $b$ por $b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - b - b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.1.5.2

Subtraia $b$ de $- b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.1.6

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1.6.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} - 4 \cdot (- 1 b)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.1.6.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 - 2 b + b^{2} + 4 b}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.1.7

Some $- 2 b$ e $4 b$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{1 + b^{2} + 2 b}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.1.8

Reordene os termos.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.1.9

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1.9.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 b + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.1.9.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 b = 2 \cdot b \cdot 1$

Etapa 2.5.1.9.3

Reescreva o polinômio.

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{b^{2} + 2 \cdot b \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.1.9.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = b$ e $b = 1$ .

$a = \frac{1 - b \pm \sqrt{{(b + 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.1.10

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$a = \frac{1 - b \pm (b + 1)}{2}$

Etapa 2.5.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$a = \frac{1 - b - (b + 1)}{2}$

Etapa 2.5.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$a = \frac{1 - b - b - 1 \cdot 1}{2}$

Etapa 2.5.4.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$a = \frac{1 - b - b - 1}{2}$

Etapa 2.5.4.3

Subtraia $1$ de $1$ .

$a = \frac{- b - b + 0}{2}$

Etapa 2.5.4.4

Some $- b - b$ e $0$ .

$a = \frac{- b - b}{2}$

Etapa 2.5.4.5

Subtraia $b$ de $- b$ .

$a = \frac{- 2 b}{2}$

Etapa 2.5.5

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.1

Fatore $2$ de $- 2 b$ .

$a = \frac{2 (- b)}{2}$

Etapa 2.5.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$a = \frac{2 (- b)}{2 (1)}$

Etapa 2.5.5.2.2

Cancele o fator comum.

$a = \frac{2 (- b)}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.5.2.3

Reescreva a expressão.

$a = \frac{- b}{1}$

Etapa 2.5.5.2.4

Divida $- b$ por $1$ .

$a = - b$

Etapa 2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$a = 1$

$a = - b$

$a = 1$

$a = - b$

Etapa 3

O domínio consiste em todos os valores de $a$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${a | a \neq 1}$