Pré-cálculo Exemplos

$g (s) = \sqrt{\frac{3 x + 4}{x^{2} - 5}}$

Etapa 1

Defina o radicando em $\sqrt{\frac{3 x + 4}{x^{2} - 5}}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\frac{3 x + 4}{x^{2} - 5} \geq 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$3 x + 4 = 0$

$x^{2} - 5 = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$3 x = - 4$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $3 x = - 4$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $3 x = - 4$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{4}{3}$

Etapa 2.4

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 5$

Etapa 2.5

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{5}$

Etapa 2.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{5}$

Etapa 2.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{5}$

Etapa 2.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Etapa 2.7

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = - \frac{4}{3}$

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Etapa 2.8

Consolide as soluções.

$x = - \frac{4}{3}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Etapa 2.9

Encontre o domínio de $\frac{3 x + 4}{x^{2} - 5}$ .

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Etapa 2.9.1

Defina o denominador em $\frac{3 x + 4}{x^{2} - 5}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} - 5 = 0$

Etapa 2.9.2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.9.2.1

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 5$

Etapa 2.9.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{5}$

Etapa 2.9.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.9.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{5}$

Etapa 2.9.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{5}$

Etapa 2.9.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Etapa 2.9.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - \sqrt{5}) \cup (- \sqrt{5}, \sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}, \infty)$

Etapa 2.10

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - \sqrt{5}$

$- \sqrt{5} < x < - \frac{4}{3}$

$- \frac{4}{3} < x < \sqrt{5}$

$x > \sqrt{5}$

Etapa 2.11

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 2.11.1

Teste um valor no intervalo $x < - \sqrt{5}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.11.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - \sqrt{5}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 5$

Etapa 2.11.1.2

Substitua $x$ por $- 5$ na desigualdade original.

$\frac{3 (- 5) + 4}{{(- 5)}^{2} - 5} \geq 0$

Etapa 2.11.1.3

O lado esquerdo $- 0.55$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 2.11.2

Teste um valor no intervalo $- \sqrt{5} < x < - \frac{4}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.11.2.1

Escolha um valor no intervalo $- \sqrt{5} < x < - \frac{4}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 2.11.2.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$\frac{3 (- 2) + 4}{{(- 2)}^{2} - 5} \geq 0$

Etapa 2.11.2.3

O lado esquerdo $2$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 2.11.3

Teste um valor no intervalo $- \frac{4}{3} < x < \sqrt{5}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.11.3.1

Escolha um valor no intervalo $- \frac{4}{3} < x < \sqrt{5}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 2.11.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{3 (0) + 4}{{(0)}^{2} - 5} \geq 0$

Etapa 2.11.3.3

O lado esquerdo $- 0.8$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 2.11.4

Teste um valor no intervalo $x > \sqrt{5}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.11.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > \sqrt{5}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 5$

Etapa 2.11.4.2

Substitua $x$ por $5$ na desigualdade original.

$\frac{3 (5) + 4}{{(5)}^{2} - 5} \geq 0$

Etapa 2.11.4.3

O lado esquerdo $0.95$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 2.11.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - \sqrt{5}$ Falso

$- \sqrt{5} < x < - \frac{4}{3}$ Verdadeiro

$- \frac{4}{3} < x < \sqrt{5}$ Falso

$x > \sqrt{5}$ Verdadeiro

$x < - \sqrt{5}$ Falso

$- \sqrt{5} < x < - \frac{4}{3}$ Verdadeiro

$- \frac{4}{3} < x < \sqrt{5}$ Falso

$x > \sqrt{5}$ Verdadeiro

Etapa 2.12

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- \sqrt{5} < x \leq - \frac{4}{3}$ ou $x > \sqrt{5}$

Etapa 3

Defina o denominador em $\frac{3 x + 4}{x^{2} - 5}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} - 5 = 0$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 5$

Etapa 4.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{5}$

Etapa 4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 4.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{5}$

Etapa 4.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{5}$

Etapa 4.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Etapa 5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \sqrt{5}, - \frac{4}{3}] \cup (\sqrt{5}, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | - \sqrt{5} < x \leq - \frac{4}{3}, x > \sqrt{5}}$

Etapa 6