Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{3} - 5 x^{2} + 6 x}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 6 x}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$ é indefinida.

$x = - 1, x = 3$

Etapa 2

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 6 x}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $- 1$ a partir da esquerda e $\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 6 x}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $- 1$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = - 1$

Etapa 3

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 4

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Etapa 5

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 6

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 6.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.1.1

Fatore $x$ de $x^{3} - 5 x^{2} + 6 x$ .

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Etapa 6.1.1.1.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 5 x^{2} + 6 x}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

Etapa 6.1.1.1.2

Fatore $x$ de $- 5 x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- 5 x) + 6 x}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

Etapa 6.1.1.1.3

Fatore $x$ de $6 x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- 5 x) + x \cdot 6}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

Etapa 6.1.1.1.4

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x (- 5 x)$ .

$\frac{x (x^{2} - 5 x) + x \cdot 6}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

Etapa 6.1.1.1.5

Fatore $x$ de $x (x^{2} - 5 x) + x \cdot 6$ .

$\frac{x (x^{2} - 5 x + 6)}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

Etapa 6.1.1.2

Fatore $x^{2} - 5 x + 6$ usando o método AC.

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Etapa 6.1.1.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $6$ e cuja soma é $- 5$ .

$- 3, - 2$

Etapa 6.1.1.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{x ((x - 3) (x - 2))}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

Etapa 6.1.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.1.2.1

Fatore $3$ de $- 3 x^{2} + 6 x + 9$ .

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Etapa 6.1.2.1.1

Fatore $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2}) + 6 x + 9}$

Etapa 6.1.2.1.2

Fatore $3$ de $6 x$ .

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 9}$

Etapa 6.1.2.1.3

Fatore $3$ de $9$ .

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 (3)}$

Etapa 6.1.2.1.4

Fatore $3$ de $3 (- x^{2}) + 3 (2 x)$ .

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2} + 2 x) + 3 (3)}$

Etapa 6.1.2.1.5

Fatore $3$ de $3 (- x^{2} + 2 x) + 3 (3)$ .

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2} + 2 x + 3)}$

Etapa 6.1.2.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 6.1.2.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ e cuja soma é $b = 2$ .

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Etapa 6.1.2.2.1.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2} + 2 (x) + 3)}$

Etapa 6.1.2.2.1.2

Reescreva $2$ como $- 1$ mais $3$

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2} + (- 1 + 3) x + 3)}$

Etapa 6.1.2.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x^{2} - 1 x + 3 x + 3)}$

Etapa 6.1.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 6.1.2.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 ((- x^{2} - 1 x) + 3 x + 3)}$

Etapa 6.1.2.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (x (- x - 1) - 3 (- x - 1))}$

Etapa 6.1.2.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x - 1$ .

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 ((- x - 1) (x - 3))}$

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x - 1) (x - 3)}$

Etapa 6.1.3

Simplifique os termos.

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Etapa 6.1.3.1

Cancele o fator comum de $x - 3$ .

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Etapa 6.1.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (x - 3) (x - 2)}{3 (- x - 1) (x - 3)}$

Etapa 6.1.3.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x (x - 2)}{3 (- x - 1)}$

Etapa 6.1.3.2

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{x (x - 2)}{3 (- (x) - 1)}$

Etapa 6.1.3.3

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{x (x - 2)}{3 (- (x) - 1 (1))}$

Etapa 6.1.3.4

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{x (x - 2)}{3 (- (x + 1))}$

Etapa 6.1.3.5

Reescreva os negativos.

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Etapa 6.1.3.5.1

Reescreva $- (x + 1)$ como $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{x (x - 2)}{3 (- 1 (x + 1))}$

Etapa 6.1.3.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x (x - 2)}{3 (x + 1)}$

Etapa 6.2

Expanda $- x (x - 2)$ .

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Etapa 6.2.1

Negative $x$ .

$\frac{- x (x - 2)}{3 (x + 1)}$

Etapa 6.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x \cdot x - x \cdot - 2}{3 (x + 1)}$

Etapa 6.2.3

Mova $x$ .

$\frac{- x \cdot x - 1 \cdot (- 2 x)}{3 (x + 1)}$

Etapa 6.2.4

Fatore o negativo.

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (- 2 x)}{3 (x + 1)}$

Etapa 6.2.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (- 2 x)}{3 (x + 1)}$

Etapa 6.2.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (- 2 x)}{3 (x + 1)}$

Etapa 6.2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- x^{1 + 1} - 1 \cdot (- 2 x)}{3 (x + 1)}$

Etapa 6.2.8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- x^{2} - 1 \cdot (- 2 x)}{3 (x + 1)}$

Etapa 6.2.9

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{- x^{2} + 2 x}{3 (x + 1)}$

Etapa 6.3

Expanda $3 (x + 1)$ .

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Etapa 6.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x^{2} + 2 x}{3 x + 3 \cdot 1}$

Etapa 6.3.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{- x^{2} + 2 x}{3 x + 3}$

Etapa 6.4

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$3 x$

$3$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

Etapa 6.5

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x$ .

				-	$\frac{x}{3}$
	$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$

Etapa 6.6

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Etapa 6.7

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x^{2} - x$ .

			-	$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Etapa 6.8

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x$

Etapa 6.9

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x$	+	$0$

Etapa 6.10

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $3 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x$ .

			-	$\frac{x}{3}$	+	$1$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x$	+	$0$

Etapa 6.11

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$\frac{x}{3}$	+	$1$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x$	+	$0$
					+	$3 x$	+	$3$

Etapa 6.12

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $3 x + 3$ .

			-	$\frac{x}{3}$	+	$1$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x$	+	$0$
					-	$3 x$	-	$3$

Etapa 6.13

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$\frac{x}{3}$	+	$1$
$3 x$	+	$3$	-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x$	+	$0$
					-	$3 x$	-	$3$
							-	$3$

Etapa 6.14

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$- \frac{x}{3} + 1 - \frac{3}{3 x + 3}$

Etapa 6.15

Divida a solução na parte polinomial e no resto.

$- \frac{x}{3} + 1 + \frac{3 x - 9}{- 3 x^{2} + 6 x + 9}$

Etapa 6.16

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = - \frac{x}{3} + 1$

Etapa 7

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = - 1$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = - \frac{x}{3} + 1$

Etapa 8