Pré-cálculo Exemplos

$g (x) = \frac{(x - 8) (x + 1) (x + 3)}{(x - 2) (x + 1)}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{(x - 8) (x + 1) (x + 3)}{(x - 2) (x + 1)}$ é indefinida.

$x = - 1, x = 2$

Etapa 2

$\frac{(x - 8) (x + 1) (x + 3)}{(x - 2) (x + 1)}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $2$ a partir da esquerda e $\frac{(x - 8) (x + 1) (x + 3)}{(x - 2) (x + 1)}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $2$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = 2$

Etapa 3

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 4

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Etapa 5

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 6

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 6.1

Fatore $x^{2} - x - 2$ usando o método AC.

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Etapa 6.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 2$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 2, 1$

Etapa 6.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24}{(x - 2) (x + 1)}$

Etapa 6.2

Expanda $(x - 2) (x + 1)$ .

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Etapa 6.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24}{x (x + 1) - 2 (x + 1)}$

Etapa 6.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24}{x \cdot x + x \cdot 1 - 2 (x + 1)}$

Etapa 6.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24}{x \cdot x + x \cdot 1 - 2 x - 2 \cdot 1}$

Etapa 6.2.4

Reordene $x$ e $1$ .

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24}{x \cdot x + 1 x - 2 x - 2 \cdot 1}$

Etapa 6.2.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24}{x \cdot x + 1 x - 2 x - 2 \cdot 1}$

Etapa 6.2.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24}{x \cdot x + 1 x - 2 x - 2 \cdot 1}$

Etapa 6.2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24}{x^{1 + 1} + 1 x - 2 x - 2 \cdot 1}$

Etapa 6.2.8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24}{x^{2} + 1 x - 2 x - 2 \cdot 1}$

Etapa 6.2.9

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24}{x^{2} + x - 2 x - 2 \cdot 1}$

Etapa 6.2.10

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24}{x^{2} + x - 2 x - 2}$

Etapa 6.2.11

Subtraia $2 x$ de $x$ .

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 29 x - 24}{x^{2} - x - 2}$

Etapa 6.3

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$29 x$

$24$

Etapa 6.4

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

							$x$
	$x^{2}$	-	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$29 x$	-	$24$

Etapa 6.5

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

						$x$
$x^{2}$	-	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$29 x$	-	$24$
					+	$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$2 x$

Etapa 6.6

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - x^{2} - 2 x$ .

						$x$
$x^{2}$	-	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$29 x$	-	$24$
					-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$2 x$

Etapa 6.7

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

						$x$
$x^{2}$	-	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$29 x$	-	$24$
					-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x^{2}$	-	$27 x$

Etapa 6.8

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

						$x$
$x^{2}$	-	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$29 x$	-	$24$
					-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x^{2}$	-	$27 x$	-	$24$

Etapa 6.9

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 3 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

						$x$	-	$3$
$x^{2}$	-	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$29 x$	-	$24$
					-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x^{2}$	-	$27 x$	-	$24$

Etapa 6.10

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

						$x$	-	$3$
$x^{2}$	-	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$29 x$	-	$24$
					-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x^{2}$	-	$27 x$	-	$24$
							-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	+	$6$

Etapa 6.11

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 3 x^{2} + 3 x + 6$ .

						$x$	-	$3$
$x^{2}$	-	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$29 x$	-	$24$
					-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x^{2}$	-	$27 x$	-	$24$
							+	$3 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$

Etapa 6.12

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

						$x$	-	$3$
$x^{2}$	-	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$29 x$	-	$24$
					-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x^{2}$	-	$27 x$	-	$24$
							+	$3 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
									-	$30 x$	-	$30$

Etapa 6.13

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$x - 3 + \frac{- 30 x - 30}{x^{2} - x - 2}$

Etapa 6.14

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = x - 3$

Etapa 7

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = 2$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = x - 3$

Etapa 8