Pré-cálculo Exemplos

$\sqrt{\sqrt{x + 1} + 1}$

Etapa 1

Defina o radicando em $\sqrt{x + 1}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x + 1 \geq 0$

Etapa 2

Subtraia $1$ dos dois lados da desigualdade.

$x \geq - 1$

Etapa 3

Defina o radicando em $\sqrt{\sqrt{x + 1} + 1}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\sqrt{x + 1} + 1 \geq 0$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Subtraia $1$ dos dois lados da desigualdade.

$\sqrt{x + 1} \geq - 1$

Etapa 4.2

Para remover o radical no lado esquerdo da desigualdade, eleve ao quadrado os dois lados da desigualdade.

${\sqrt{x + 1}}^{2} \geq {(- 1)}^{2}$

Etapa 4.3

Simplifique cada lado da desigualdade.

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Etapa 4.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 1)}^{2}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.3.2.1

Simplifique ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 1)}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 1)}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(x + 1)}^{1} \geq {(- 1)}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.2

Simplifique.

$x + 1 \geq {(- 1)}^{2}$

Etapa 4.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.3.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$x + 1 \geq 1$

Etapa 4.4

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da desigualdade.

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Etapa 4.4.1

Subtraia $1$ dos dois lados da desigualdade.

$x \geq 1 - 1$

Etapa 4.4.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$x \geq 0$

Etapa 4.5

Encontre o domínio de $\sqrt{x + 1} + 1$ .

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Etapa 4.5.1

Defina o radicando em $\sqrt{x + 1}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x + 1 \geq 0$

Etapa 4.5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da desigualdade.

$x \geq - 1$

Etapa 4.5.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[- 1, \infty)$

Etapa 4.6

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

Etapa 4.7

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 4.7.1

Teste um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 4.7.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 4.7.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$\sqrt{(- 4) + 1} + 1 \geq 0$

Etapa 4.7.1.3

O lado esquerdo é diferente do lado direito, o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 4.7.2

Teste um valor no intervalo $- 1 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 4.7.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 1 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 0.5$

Etapa 4.7.2.2

Substitua $x$ por $- 0.5$ na desigualdade original.

$\sqrt{(- 0.5) + 1} + 1 \geq 0$

Etapa 4.7.2.3

O lado esquerdo $1.70710678$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 4.7.3

Teste um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 4.7.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 4.7.3.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\sqrt{(2) + 1} + 1 \geq 0$

Etapa 4.7.3.3

O lado esquerdo $2.7320508$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 4.7.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 0$ Verdadeiro

$x > 0$ Verdadeiro

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 0$ Verdadeiro

$x > 0$ Verdadeiro

Etapa 4.8

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 1 \leq x \leq 0$ ou $x \geq 0$

Etapa 4.9

Combine os intervalos.

$x \geq - 1$

Etapa 5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[- 1, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \geq - 1}$

Etapa 6