Pré-cálculo Exemplos

$g (t) = \frac{\ln (π - | t |)}{\sin (t) - \frac{1}{2}}$

Etapa 1

Defina o argumento em $\ln (π - | t |)$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$π - | t | > 0$

Etapa 2

Resolva $t$ .

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Etapa 2.1

Escreva $π - | t | > 0$ em partes.

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Etapa 2.1.1

Para encontrar o intervalo da primeira parte, identifique onde o interior do valor absoluto é não negativo.

$t \geq 0$

Etapa 2.1.2

Na parte em que $t$ é não negativo, remova o valor absoluto.

$π - t > 0$

Etapa 2.1.3

Para encontrar o intervalo da segunda parte, identifique onde o interior do valor absoluto é negativo.

$t < 0$

Etapa 2.1.4

Na parte em que $t$ é negativo, remova o valor absoluto e multiplique por $- 1$ .

$π - - t > 0$

Etapa 2.1.5

Escreva em partes.

${\begin{cases} π - t > 0 & t \geq 0 \\ π - - t > 0 & t < 0 \end{cases}$

Etapa 2.1.6

Multiplique $- - t$ .

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Etapa 2.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

${\begin{cases} π - t > 0 & t \geq 0 \\ π + 1 t > 0 & t < 0 \end{cases}$

Etapa 2.1.6.2

Multiplique $t$ por $1$ .

${\begin{cases} π - t > 0 & t \geq 0 \\ π + t > 0 & t < 0 \end{cases}$

Etapa 2.2

Resolva $π - t > 0$ quando $t \geq 0$ .

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Etapa 2.2.1

Resolva $π - t > 0$ para $t$ .

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Etapa 2.2.1.1

Subtraia $π$ dos dois lados da desigualdade.

$- t > - π$

Etapa 2.2.1.2

Divida cada termo em $- t > - π$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 2.2.1.2.1

Divida cada termo em $- t > - π$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- t}{- 1} < \frac{- π}{- 1}$

Etapa 2.2.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{t}{1} < \frac{- π}{- 1}$

Etapa 2.2.1.2.2.2

Divida $t$ por $1$ .

$t < \frac{- π}{- 1}$

Etapa 2.2.1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.1.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$t < \frac{π}{1}$

Etapa 2.2.1.2.3.2

Divida $π$ por $1$ .

$t < π$

Etapa 2.2.2

Encontre a intersecção de $t < π$ e $t \geq 0$ .

$0 \leq t < π$

Etapa 2.3

Resolva $π + t > 0$ quando $t < 0$ .

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Etapa 2.3.1

Subtraia $π$ dos dois lados da desigualdade.

$t > - π$

Etapa 2.3.2

Encontre a intersecção de $t > - π$ e $t < 0$ .

$- π < t < 0$

Etapa 2.4

Encontre a união das soluções.

$- π < t < π$

Etapa 3

Defina o denominador em $\frac{\ln (π - | t |)}{\sin (t) - \frac{1}{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sin (t) - \frac{1}{2} = 0$

Etapa 4

Resolva $t$ .

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Etapa 4.1

Some $\frac{1}{2}$ aos dois lados da equação.

$\sin (t) = \frac{1}{2}$

Etapa 4.2

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $t$ de dentro do seno.

$t = \arcsin (\frac{1}{2})$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.1

O valor exato de $\arcsin (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{6}$ .

$t = \frac{π}{6}$

Etapa 4.4

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$t = π - \frac{π}{6}$

Etapa 4.5

Simplifique $π - \frac{π}{6}$ .

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Etapa 4.5.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$t = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 4.5.2

Combine frações.

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Etapa 4.5.2.1

Combine $π$ e $\frac{6}{6}$ .

$t = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 4.5.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$t = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 4.5.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.5.3.1

Mova $6$ para a esquerda de $π$ .

$t = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Etapa 4.5.3.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$t = \frac{5 π}{6}$

Etapa 4.6

Encontre o período de $\sin (t)$ .

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Etapa 4.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 4.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 4.6.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 4.7

O período da função $\sin (t)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$t = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

O domínio consiste em todos os valores de $t$ que tornam a expressão definida.

Notação de construtor de conjuntos:

${t | - π < t < π, t \neq \frac{π}{6} + 2 π n, t \neq \frac{5 π}{6} + 2 π n}$

Etapa 6