Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}$ como uma equação.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{\sqrt[3]{y + 4}}{7}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{\sqrt[3]{y + 4}}{7} = x$ .

$\frac{\sqrt[3]{y + 4}}{7} = x$

Etapa 3.2

Multiplique os dois lados da equação por $7$ .

$7 \frac{\sqrt[3]{y + 4}}{7} = 7 x$

Etapa 3.3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$7 \frac{\sqrt[3]{y + 4}}{7} = 7 x$

Etapa 3.3.1.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt[3]{y + 4} = 7 x$

Etapa 3.4

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${\sqrt[3]{y + 4}}^{3} = {(7 x)}^{3}$

Etapa 3.5

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{y + 4}$ como ${(y + 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(y + 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(7 x)}^{3}$

Etapa 3.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Simplifique ${({(y + 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(y + 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(7 x)}^{3}$

Etapa 3.5.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(y + 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(7 x)}^{3}$

Etapa 3.5.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(y + 4)}^{1} = {(7 x)}^{3}$

Etapa 3.5.2.1.2

Simplifique.

$y + 4 = {(7 x)}^{3}$

Etapa 3.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1

Simplifique ${(7 x)}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.1

Aplique a regra do produto a $7 x$ .

$y + 4 = 7^{3} x^{3}$

Etapa 3.5.3.1.2

Eleve $7$ à potência de $3$ .

$y + 4 = 343 x^{3}$

Etapa 3.6

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$y = 343 x^{3} - 4$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = 343 x^{3} - 4$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = 343 x^{3} - 4$ é o inverso de $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}) = 343 {(\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7})}^{3} - 4$

Etapa 5.2.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}) = 343 (\frac{{\sqrt[3]{x + 4}}^{3}}{7^{3}}) - 4$

Etapa 5.2.3.2

Reescreva ${\sqrt[3]{x + 4}}^{3}$ como $x + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x + 4}$ como ${(x + 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}) = 343 (\frac{{({(x + 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{7^{3}}) - 4$

Etapa 5.2.3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}) = 343 (\frac{{(x + 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{7^{3}}) - 4$

Etapa 5.2.3.2.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}) = 343 (\frac{{(x + 4)}^{\frac{3}{3}}}{7^{3}}) - 4$

Etapa 5.2.3.2.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}) = 343 (\frac{{(x + 4)}^{\frac{3}{3}}}{7^{3}}) - 4$

Etapa 5.2.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}) = 343 (\frac{x + 4}{7^{3}}) - 4$

Etapa 5.2.3.2.5

Simplifique.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}) = 343 (\frac{x + 4}{7^{3}}) - 4$

Etapa 5.2.3.3

Eleve $7$ à potência de $3$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}) = 343 (\frac{x + 4}{343}) - 4$

Etapa 5.2.3.4

Cancele o fator comum de $343$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}) = 343 (\frac{x + 4}{343}) - 4$

Etapa 5.2.3.4.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}) = x + 4 - 4$

Etapa 5.2.4

Combine os termos opostos em $x + 4 - 4$ .

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Etapa 5.2.4.1

Subtraia $4$ de $4$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}) = x + 0$

Etapa 5.2.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (343 x^{3} - 4)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (343 x^{3} - 4) = \frac{\sqrt[3]{(343 x^{3} - 4) + 4}}{7}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.3.1

Some $- 4$ e $4$ .

$f (343 x^{3} - 4) = \frac{\sqrt[3]{343 x^{3} + 0}}{7}$

Etapa 5.3.3.2

Some $343 x^{3}$ e $0$ .

$f (343 x^{3} - 4) = \frac{\sqrt[3]{343 x^{3}}}{7}$

Etapa 5.3.3.3

Reescreva $343 x^{3}$ como ${(7 x)}^{3}$ .

$f (343 x^{3} - 4) = \frac{\sqrt[3]{{(7 x)}^{3}}}{7}$

Etapa 5.3.3.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$f (343 x^{3} - 4) = \frac{7 x}{7}$

Etapa 5.3.4

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f (343 x^{3} - 4) = \frac{7 x}{7}$

Etapa 5.3.4.2

Divida $x$ por $1$ .

$f (343 x^{3} - 4) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = 343 x^{3} - 4$ é o inverso de $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 4}}{7}$ .

$f^{- 1} (x) = 343 x^{3} - 4$