Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = {(x - 8)}^{7}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Etapa 1

Escreva $f (x) = {(x - 8)}^{7}$ como uma equação.

$y = {(x - 8)}^{7}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = {(y - 8)}^{7}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como ${(y - 8)}^{7} = x$ .

${(y - 8)}^{7} = x$

Etapa 3.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y - 8 = \sqrt[7]{x}$

Etapa 3.3

Some $8$ aos dois lados da equação.

$y = \sqrt[7]{x} + 8$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x} + 8$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x} + 8$ é o inverso de $f (x) = {(x - 8)}^{7}$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} ({(x - 8)}^{7})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(x - 8)}^{7}) = \sqrt[7]{{(x - 8)}^{7}} + 8$

Etapa 5.2.3

Remova os parênteses.

$f^{- 1} ({(x - 8)}^{7}) = \sqrt[7]{{(x - 8)}^{7}} + 8$

Etapa 5.2.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$f^{- 1} ({(x - 8)}^{7}) = x - 8 + 8$

Etapa 5.2.5

Combine os termos opostos em $x - 8 + 8$ .

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Etapa 5.2.5.1

Some $- 8$ e $8$ .

$f^{- 1} ({(x - 8)}^{7}) = x + 0$

Etapa 5.2.5.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} ({(x - 8)}^{7}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\sqrt[7]{x} + 8)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\sqrt[7]{x} + 8) = {((\sqrt[7]{x} + 8) - 8)}^{7}$

Etapa 5.3.3

Combine os termos opostos em $(\sqrt[7]{x} + 8) - 8$ .

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Etapa 5.3.3.1

Subtraia $8$ de $8$ .

$f (\sqrt[7]{x} + 8) = {(\sqrt[7]{x} + 0)}^{7}$

Etapa 5.3.3.2

Some $\sqrt[7]{x}$ e $0$ .

$f (\sqrt[7]{x} + 8) = {\sqrt[7]{x}}^{7}$

Etapa 5.3.4

Reescreva ${\sqrt[7]{x}}^{7}$ como $x$ .

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Etapa 5.3.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[7]{x}$ como $x^{\frac{1}{7}}$ .

$f (\sqrt[7]{x} + 8) = {(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$

Etapa 5.3.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[7]{x} + 8) = x^{\frac{1}{7} \cdot 7}$

Etapa 5.3.4.3

Combine $\frac{1}{7}$ e $7$ .

$f (\sqrt[7]{x} + 8) = x^{\frac{7}{7}}$

Etapa 5.3.4.4

Cancele o fator comum de $7$ .

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Etapa 5.3.4.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\sqrt[7]{x} + 8) = x^{\frac{7}{7}}$

Etapa 5.3.4.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\sqrt[7]{x} + 8) = x$

Etapa 5.3.4.5

Simplifique.

$f (\sqrt[7]{x} + 8) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x} + 8$ é o inverso de $f (x) = {(x - 8)}^{7}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x} + 8$