Pré-cálculo Exemplos

$y = \frac{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 12}{x^{2} + 8 x + 15}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 12}{x^{2} + 8 x + 15}$ é indefinida.

$x = - 5, x = - 3$

Etapa 2

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 12}{x^{2} + 8 x + 15}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $- 5$ a partir da esquerda e $\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 12}{x^{2} + 8 x + 15}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $- 5$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = - 5$

Etapa 3

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 4

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Etapa 5

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 6

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 6.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.1.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 6.1.1.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(x^{3} + 3 x^{2}) - 4 x - 12}{x^{2} + 8 x + 15}$

Etapa 6.1.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{x^{2} (x + 3) - 4 (x + 3)}{x^{2} + 8 x + 15}$

Etapa 6.1.1.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x + 3$ .

$\frac{(x + 3) (x^{2} - 4)}{x^{2} + 8 x + 15}$

Etapa 6.1.1.3

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{(x + 3) (x^{2} - 2^{2})}{x^{2} + 8 x + 15}$

Etapa 6.1.1.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{(x + 3) (x + 2) (x - 2)}{x^{2} + 8 x + 15}$

Etapa 6.1.2

Fatore $x^{2} + 8 x + 15$ usando o método AC.

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Etapa 6.1.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $15$ e cuja soma é $8$ .

$3, 5$

Etapa 6.1.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x + 3) (x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x + 5)}$

Etapa 6.1.3

Cancele o fator comum de $x + 3$ .

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Etapa 6.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 3) (x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x + 5)}$

Etapa 6.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x + 5}$

Etapa 6.2

Expanda $(x + 2) (x - 2)$ .

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Etapa 6.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (x - 2) + 2 (x - 2)}{x + 5}$

Etapa 6.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)}{x + 5}$

Etapa 6.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2}{x + 5}$

Etapa 6.2.4

Reordene $x$ e $- 2$ .

$\frac{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}{x + 5}$

Etapa 6.2.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}{x + 5}$

Etapa 6.2.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}{x + 5}$

Etapa 6.2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{1 + 1} - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}{x + 5}$

Etapa 6.2.8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}{x + 5}$

Etapa 6.2.9

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + 2 x - 4}{x + 5}$

Etapa 6.2.10

Some $- 2 x$ e $2 x$ .

$\frac{x^{2} + 0 - 4}{x + 5}$

Etapa 6.2.11

Subtraia $4$ de $0$ .

$\frac{x^{2} - 4}{x + 5}$

Etapa 6.3

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$5$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

Etapa 6.4

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x$
	$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$

Etapa 6.5

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			+	$x^{2}$	+	$5 x$

Etapa 6.6

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} + 5 x$ .

				$x$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{2}$	-	$5 x$

Etapa 6.7

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$5 x$

Etapa 6.8

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$5 x$	-	$4$

Etapa 6.9

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 5 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x$	-	$5$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$5 x$	-	$4$

Etapa 6.10

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x$	-	$5$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$5 x$	-	$4$
					-	$5 x$	-	$25$

Etapa 6.11

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 5 x - 25$ .

				$x$	-	$5$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$5 x$	-	$4$
					+	$5 x$	+	$25$

Etapa 6.12

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x$	-	$5$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$
			-	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$5 x$	-	$4$
					+	$5 x$	+	$25$
							+	$21$

Etapa 6.13

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$x - 5 + \frac{21}{x + 5}$

Etapa 6.14

Divida a solução na parte polinomial e no resto.

$x - 5 + \frac{21 x + 63}{x^{2} + 8 x + 15}$

Etapa 6.15

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = x - 5$

Etapa 7

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = - 5$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = x - 5$

Etapa 8