Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{5}}{5}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{x^{5}}{5}$ como uma equação.

$y = \frac{x^{5}}{5}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{y^{5}}{5}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{y^{5}}{5} = x$ .

$\frac{y^{5}}{5} = x$

Etapa 3.2

Multiplique os dois lados da equação por $5$ .

$5 \frac{y^{5}}{5} = 5 x$

Etapa 3.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$5 \frac{y^{5}}{5} = 5 x$

Etapa 3.3.1.2

Reescreva a expressão.

$y^{5} = 5 x$

Etapa 3.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \sqrt[5]{5 x}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{5 x}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{5 x}$ é o inverso de $f (x) = \frac{x^{5}}{5}$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{x^{5}}{5})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{5}) = \sqrt[5]{5 (\frac{x^{5}}{5})}$

Etapa 5.2.3

Combine $5$ e $\frac{x^{5}}{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{5}) = \sqrt[5]{\frac{5 x^{5}}{5}}$

Etapa 5.2.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 5.2.4.1

Reduza a expressão $\frac{5 x^{5}}{5}$ cancelando os fatores comuns.

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Etapa 5.2.4.1.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{5}) = \sqrt[5]{\frac{5 x^{5}}{5}}$

Etapa 5.2.4.1.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{5}) = \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{1}}$

Etapa 5.2.4.2

Divida $x^{5}$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{5}) = \sqrt[5]{x^{5}}$

Etapa 5.2.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$f^{- 1} (\frac{x^{5}}{5}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\sqrt[5]{5 x})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\sqrt[5]{5 x}) = \frac{{(\sqrt[5]{5 x})}^{5}}{5}$

Etapa 5.3.3

Reescreva ${\sqrt[5]{5 x}}^{5}$ como $5 x$ .

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Etapa 5.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[5]{5 x}$ como ${(5 x)}^{\frac{1}{5}}$ .

$f (\sqrt[5]{5 x}) = \frac{{({(5 x)}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{5}$

Etapa 5.3.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[5]{5 x}) = \frac{{(5 x)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{5}$

Etapa 5.3.3.3

Combine $\frac{1}{5}$ e $5$ .

$f (\sqrt[5]{5 x}) = \frac{{(5 x)}^{\frac{5}{5}}}{5}$

Etapa 5.3.3.4

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 5.3.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\sqrt[5]{5 x}) = \frac{{(5 x)}^{\frac{5}{5}}}{5}$

Etapa 5.3.3.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\sqrt[5]{5 x}) = \frac{5 x}{5}$

Etapa 5.3.3.5

Simplifique.

$f (\sqrt[5]{5 x}) = \frac{5 x}{5}$

Etapa 5.3.4

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 5.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\sqrt[5]{5 x}) = \frac{5 x}{5}$

Etapa 5.3.4.2

Divida $x$ por $1$ .

$f (\sqrt[5]{5 x}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{5 x}$ é o inverso de $f (x) = \frac{x^{5}}{5}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{5 x}$