Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + 5}{x^{2}}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{x^{3} - 2 x^{2} + 5}{x^{2}}$ é indefinida.

$x = 0$

Etapa 2

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 3

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Etapa 4

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 5

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$5$

Etapa 5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$5$

Etapa 5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{3}$

$0$

Etapa 5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} + 0 + 0$ .

						$x$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
					-	$x^{3}$	-	$0$	-	$0$

Etapa 5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

						$x$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
					-	$x^{3}$	-	$0$	-	$0$
							-	$2 x^{2}$	+	$0$

Etapa 5.6

Tire o próximo termo do dividendo original e o coloque no dividendo atual.

						$x$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
					-	$x^{3}$	-	$0$	-	$0$
							-	$2 x^{2}$	+	$0$	+	$5$

Etapa 5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 2 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

						$x$	-	$2$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
					-	$x^{3}$	-	$0$	-	$0$
							-	$2 x^{2}$	+	$0$	+	$5$

Etapa 5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

						$x$	-	$2$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
					-	$x^{3}$	-	$0$	-	$0$
							-	$2 x^{2}$	+	$0$	+	$5$
							-	$2 x^{2}$	+	$0$	+	$0$

Etapa 5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 2 x^{2} + 0 + 0$ .

						$x$	-	$2$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
					-	$x^{3}$	-	$0$	-	$0$
							-	$2 x^{2}$	+	$0$	+	$5$
							+	$2 x^{2}$	-	$0$	-	$0$

Etapa 5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

						$x$	-	$2$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
					-	$x^{3}$	-	$0$	-	$0$
							-	$2 x^{2}$	+	$0$	+	$5$
							+	$2 x^{2}$	-	$0$	-	$0$
											+	$5$

Etapa 5.11

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$x - 2 + \frac{5}{x^{2}}$

Etapa 5.12

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = x - 2$

Etapa 6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = 0$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = x - 2$

Etapa 7