Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{e^{- x}}{\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}}$

Etapa 1

Defina o radicando em $\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$e^{2 x} - e^{x} - 2 \geq 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Reescreva $e^{2 x}$ como exponenciação.

${(e^{x})}^{2} - e^{x} - 2 = 0$

Etapa 2.2

Substitua $u$ por $e^{x}$ .

$u^{2} - u - 2 = 0$

Etapa 2.3

Resolva $u$ .

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Etapa 2.3.1

Fatore $u^{2} - u - 2$ usando o método AC.

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Etapa 2.3.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 2$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 2, 1$

Etapa 2.3.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 2) (u + 1) = 0$

Etapa 2.3.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u - 2 = 0$

$u + 1 = 0$

Etapa 2.3.3

Defina $u - 2$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 2.3.3.1

Defina $u - 2$ como igual a $0$ .

$u - 2 = 0$

Etapa 2.3.3.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$u = 2$

Etapa 2.3.4

Defina $u + 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 2.3.4.1

Defina $u + 1$ como igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Etapa 2.3.4.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$u = - 1$

Etapa 2.3.5

A solução final são todos os valores que tornam $(u - 2) (u + 1) = 0$ verdadeiro.

$u = 2, - 1$

Etapa 2.4

Substitua $2$ por $u$ em $u = e^{x}$ .

$2 = e^{x}$

Etapa 2.5

Resolva $2 = e^{x}$ .

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Etapa 2.5.1

Reescreva a equação como $e^{x} = 2$ .

$e^{x} = 2$

Etapa 2.5.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Etapa 2.5.3

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 2.5.3.1

Expanda $\ln (e^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Etapa 2.5.3.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Etapa 2.5.3.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x = \ln (2)$

Etapa 2.6

Substitua $- 1$ por $u$ em $u = e^{x}$ .

$- 1 = e^{x}$

Etapa 2.7

Resolva $- 1 = e^{x}$ .

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Etapa 2.7.1

Reescreva a equação como $e^{x} = - 1$ .

$e^{x} = - 1$

Etapa 2.7.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 1)$

Etapa 2.7.3

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (- 1)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 2.7.4

Não há uma solução para $e^{x} = - 1$

Nenhuma solução

Etapa 2.8

Liste as soluções que tornam a equação verdadeira.

$x = \ln (2)$

Etapa 2.9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \geq \ln (2)$

Etapa 3

Defina o denominador em $\frac{e^{- x}}{\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2} = 0$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}}^{2} = 0^{2}$

Etapa 4.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 4.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{e^{2 x} - e^{x} - 2}$ como ${(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.2.1

Simplifique ${({(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 4.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 4.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(e^{2 x} - e^{x} - 2)}^{1} = 0^{2}$

Etapa 4.2.2.1.2

Simplifique.

$e^{2 x} - e^{x} - 2 = 0^{2}$

Etapa 4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$e^{2 x} - e^{x} - 2 = 0$

Etapa 4.3

Resolva $x$ .

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Etapa 4.3.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.3.1.1

Reescreva $e^{2 x}$ como ${(e^{x})}^{2}$ .

${(e^{x})}^{2} - e^{x} - 2 = 0$

Etapa 4.3.1.2

Deixe $u = e^{x}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $e^{x}$ .

$u^{2} - u - 2 = 0$

Etapa 4.3.1.3

Fatore $u^{2} - u - 2$ usando o método AC.

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Etapa 4.3.1.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 2$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 2, 1$

Etapa 4.3.1.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 2) (u + 1) = 0$

Etapa 4.3.1.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $e^{x}$ .

$(e^{x} - 2) (e^{x} + 1) = 0$

Etapa 4.3.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{x} - 2 = 0$

$e^{x} + 1 = 0$

Etapa 4.3.3

Defina $e^{x} - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.3.3.1

Defina $e^{x} - 2$ como igual a $0$ .

$e^{x} - 2 = 0$

Etapa 4.3.3.2

Resolva $e^{x} - 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.3.3.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$e^{x} = 2$

Etapa 4.3.3.2.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Etapa 4.3.3.2.3

Expanda o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.2.3.1

Expanda $\ln (e^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Etapa 4.3.3.2.3.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Etapa 4.3.3.2.3.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x = \ln (2)$

Etapa 4.3.4

Defina $e^{x} + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.3.4.1

Defina $e^{x} + 1$ como igual a $0$ .

$e^{x} + 1 = 0$

Etapa 4.3.4.2

Resolva $e^{x} + 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$e^{x} = - 1$

Etapa 4.3.4.2.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 1)$

Etapa 4.3.4.2.3

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (- 1)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 4.3.4.2.4

Não há uma solução para $e^{x} = - 1$

Nenhuma solução

Etapa 4.3.5

A solução final são todos os valores que tornam $(e^{x} - 2) (e^{x} + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \ln (2)$

Etapa 5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(\ln (2), \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x > \ln (2)}$

Etapa 6