Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 2 (x^{7} + 2)$ ; find $f^{- 1} (x)$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 2 (x^{7} + 2)$ como uma equação.

$y = 2 (x^{7} + 2)$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = 2 (y^{7} + 2)$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $2 (y^{7} + 2) = x$ .

$2 (y^{7} + 2) = x$

Etapa 3.2

Divida cada termo em $2 (y^{7} + 2) = x$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Divida cada termo em $2 (y^{7} + 2) = x$ por $2$ .

$\frac{2 (y^{7} + 2)}{2} = \frac{x}{2}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (y^{7} + 2)}{2} = \frac{x}{2}$

Etapa 3.2.2.1.2

Divida $y^{7} + 2$ por $1$ .

$y^{7} + 2 = \frac{x}{2}$

Etapa 3.3

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$y^{7} = \frac{x}{2} - 2$

Etapa 3.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \sqrt[7]{\frac{x}{2} - 2}$

Etapa 3.5

Simplifique $\sqrt[7]{\frac{x}{2} - 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[7]{\frac{x}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}}$

Etapa 3.5.2

Combine $- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[7]{\frac{x}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}}$

Etapa 3.5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \sqrt[7]{\frac{x - 2 \cdot 2}{2}}$

Etapa 3.5.4

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$y = \sqrt[7]{\frac{x - 4}{2}}$

Etapa 3.5.5

Reescreva $\sqrt[7]{\frac{x - 4}{2}}$ como $\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$ é o inverso de $f (x) = 2 (x^{7} + 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (2 (x^{7} + 2))$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \frac{\sqrt[7]{(2 (x^{7} + 2)) - 4}}{\sqrt[7]{2}}$

Etapa 5.2.3

Combine $\sqrt[7]{2 (x^{7} + 2) - 4}$ e $\sqrt[7]{2}$ em um único radical.

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 (x^{7} + 2) - 4}{2}}$

Etapa 5.2.4

Fatore $2$ de $2 (x^{7} + 2) - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 (x^{7} + 2) + 2 \cdot - 2}{2}}$

Etapa 5.2.4.2

Fatore $2$ de $2 (x^{7} + 2) + 2 \cdot - 2$ .

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 (x^{7} + 2 - 2)}{2}}$

Etapa 5.2.5

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.1

Subtraia $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 (x^{7} + 0)}{2}}$

Etapa 5.2.5.2

Some $x^{7}$ e $0$ .

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 x^{7}}{2}}$

Etapa 5.2.6

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.1

Reduza a expressão $\frac{2 x^{7}}{2}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.1.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{2 x^{7}}{2}}$

Etapa 5.2.6.1.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{\frac{x^{7}}{1}}$

Etapa 5.2.6.2

Divida $x^{7}$ por $1$ .

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = \sqrt[7]{x^{7}}$

Etapa 5.2.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$f^{- 1} (2 (x^{7} + 2)) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 ({(\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}})}^{7} + 2)$

Etapa 5.3.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{{\sqrt[7]{x - 4}}^{7}}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

Etapa 5.3.3.2

Reescreva ${\sqrt[7]{x - 4}}^{7}$ como $x - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[7]{x - 4}$ como ${(x - 4)}^{\frac{1}{7}}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{{({(x - 4)}^{\frac{1}{7}})}^{7}}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

Etapa 5.3.3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

Etapa 5.3.3.2.3

Combine $\frac{1}{7}$ e $7$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{{(x - 4)}^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

Etapa 5.3.3.2.4

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{{(x - 4)}^{\frac{7}{7}}}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

Etapa 5.3.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

Etapa 5.3.3.2.5

Simplifique.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{{\sqrt[7]{2}}^{7}} + 2)$

Etapa 5.3.3.3

Reescreva ${\sqrt[7]{2}}^{7}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[7]{2}$ como $2^{\frac{1}{7}}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{{(2^{\frac{1}{7}})}^{7}} + 2)$

Etapa 5.3.3.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2^{\frac{1}{7} \cdot 7}} + 2)$

Etapa 5.3.3.3.3

Combine $\frac{1}{7}$ e $7$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2^{\frac{7}{7}}} + 2)$

Etapa 5.3.3.3.4

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2^{\frac{7}{7}}} + 2)$

Etapa 5.3.3.3.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2} + 2)$

Etapa 5.3.3.3.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2} + 2)$

Etapa 5.3.4

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2})$

Etapa 5.3.5

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.1

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2})$

Etapa 5.3.5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4 + 2 \cdot 2}{2})$

Etapa 5.3.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.6.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x - 4 + 4}{2})$

Etapa 5.3.6.2

Some $- 4$ e $4$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x + 0}{2})$

Etapa 5.3.6.3

Some $x$ e $0$ .

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x}{2})$

Etapa 5.3.7

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.7.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = 2 (\frac{x}{2})$

Etapa 5.3.7.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$ é o inverso de $f (x) = 2 (x^{7} + 2)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x - 4}}{\sqrt[7]{2}}$