Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{- x^{3} + 8}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{- x^{3} + 8}$ é indefinida.

$x = 2$

Etapa 2

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 3

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 4$

$m = 3$

Etapa 4

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 5

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 5.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.1.1.1

Reescreva $- x^{3}$ como ${(- x)}^{3}$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{{(- x)}^{3} + 8}$

Etapa 5.1.1.2

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{{(- x)}^{3} + 2^{3}}$

Etapa 5.1.1.3

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = - x$ e $b = 2$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) ({(- x)}^{2} - - x \cdot 2 + 2^{2})}$

Etapa 5.1.1.4

Simplifique.

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Etapa 5.1.1.4.1

Aplique a regra do produto a $- x$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) ({(- 1)}^{2} x^{2} - - x \cdot 2 + 2^{2})}$

Etapa 5.1.1.4.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) (1 x^{2} - - x \cdot 2 + 2^{2})}$

Etapa 5.1.1.4.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) (x^{2} - - x \cdot 2 + 2^{2})}$

Etapa 5.1.1.4.4

Multiplique $- - x$ .

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Etapa 5.1.1.4.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) (x^{2} + 1 x \cdot 2 + 2^{2})}$

Etapa 5.1.1.4.4.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})}$

Etapa 5.1.1.4.5

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) (x^{2} + 2 \cdot x + 2^{2})}$

Etapa 5.1.1.4.6

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Etapa 5.1.2

Simplifique com fatoração.

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Etapa 5.1.2.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- (x) + 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Etapa 5.1.2.2

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- (x) - 1 (- 2)) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Etapa 5.1.2.3

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{- (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Etapa 5.1.2.4

Reescreva os negativos.

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Etapa 5.1.2.4.1

Reescreva $- (x - 2)$ como $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{- 1 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Etapa 5.1.2.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Etapa 5.2

Expanda $- (3 x^{4} - 2 x + 1)$ .

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Etapa 5.2.1

Negative $3 x^{4} - 2 x + 1$ .

$\frac{- (3 x^{4} - 2 x + 1)}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Etapa 5.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- (3 x^{4} - 2 x) - 1 \cdot 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Etapa 5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- (3 x^{4}) - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Etapa 5.2.4

Remova os parênteses.

$\frac{- 1 \cdot (3 x^{4}) - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Etapa 5.2.5

Remova os parênteses.

$\frac{- 1 \cdot (3 x^{4}) + 2 x - 1 \cdot 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Etapa 5.2.6

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1 \cdot 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Etapa 5.2.7

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1 \cdot 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Etapa 5.2.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Etapa 5.3

Expanda $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ .

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Etapa 5.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x (x^{2} + 2 x + 4) - 2 (x^{2} + 2 x + 4)}$

Etapa 5.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x (x^{2} + 2 x) + x \cdot 4 - 2 (x^{2} + 2 x + 4)}$

Etapa 5.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 2 (x^{2} + 2 x + 4)}$

Etapa 5.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 2 (x^{2} + 2 x) - 2 \cdot 4}$

Etapa 5.3.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4}$

Etapa 5.3.6

Remova os parênteses.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + x \cdot (2 x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4}$

Etapa 5.3.7

Reordene $x$ e $2$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + 2 \cdot (x \cdot x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4}$

Etapa 5.3.8

Reordene $x$ e $4$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + 2 \cdot (x \cdot x) + 4 \cdot x - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4}$

Etapa 5.3.9

Remova os parênteses.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + 2 \cdot (x \cdot x) + 4 \cdot x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Etapa 5.3.10

Multiplique $2$ por $x$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + 2 x \cdot x + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Etapa 5.3.11

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + 2 x \cdot x + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Etapa 5.3.12

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{1 + 2} + 2 x \cdot x + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Etapa 5.3.13

Some $1$ e $2$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 x \cdot x + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Etapa 5.3.14

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 (x \cdot x) + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Etapa 5.3.15

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 (x \cdot x) + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Etapa 5.3.16

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 x^{1 + 1} + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Etapa 5.3.17

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

Etapa 5.3.18

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot 4}$

Etapa 5.3.19

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} - 4 x - 8}$

Etapa 5.3.20

Mova $4 x$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} + 4 x - 4 x - 8}$

Etapa 5.3.21

Subtraia $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 0 + 4 x - 4 x - 8}$

Etapa 5.3.22

Some $x^{3}$ e $0$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 4 x - 4 x - 8}$

Etapa 5.3.23

Subtraia $4 x$ de $4 x$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 0 - 8}$

Etapa 5.3.24

Some $x^{3}$ e $0$ .

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} - 8}$

Etapa 5.4

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

Etapa 5.5

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 3 x^{4}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{3}$ .

$3 x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

Etapa 5.6

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$3 x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$3 x^{4}$

$0$

$24 x$

Etapa 5.7

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 3 x^{4} + 0 + 0 + 24 x$ .

							-	$3 x$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$8$	-	$3 x^{4}$	+	$0 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
							+	$3 x^{4}$	-	$0$	-	$0$	-	$24 x$

Etapa 5.8

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

							-	$3 x$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$8$	-	$3 x^{4}$	+	$0 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
							+	$3 x^{4}$	-	$0$	-	$0$	-	$24 x$
													-	$22 x$

Etapa 5.9

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

							-	$3 x$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$8$	-	$3 x^{4}$	+	$0 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
							+	$3 x^{4}$	-	$0$	-	$0$	-	$24 x$
													-	$22 x$	-	$1$

Etapa 5.10

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$- 3 x + \frac{- 22 x - 1}{x^{3} - 8}$

Etapa 5.11

Divida a solução na parte polinomial e no resto.

$- 3 x + \frac{22 x + 1}{- x^{3} + 8}$

Etapa 5.12

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = - 3 x$

Etapa 6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = 2$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = - 3 x$

Etapa 7