Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{2 x^{4} - 2 x + 13}{3 x^{2} - 4 x + π}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{2 x^{4} - 2 x + 13}{3 x^{2} - 4 x + π}$ é indefinida.

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 2

As assíntotas verticais ocorrem em áreas de descontinuidade infinita.

Nenhuma assíntota vertical

Etapa 3

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 4

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 4$

$m = 2$

Etapa 5

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 6

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$3 x^{2}$

$4 x$

$π$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$13$

Etapa 6.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{4}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{3}$

$3 x^{2}$

$4 x$

$π$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$13$

Etapa 6.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$\frac{2 x^{2}}{3}$

$3 x^{2}$

$4 x$

$π$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$13$

$2 x^{4}$

$\frac{8 x^{3}}{3}$

$\frac{2 x^{2} π}{3}$

Etapa 6.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{4} - \frac{8 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{2} π}{3}$ .

$\frac{2 x^{2}}{3}$

$3 x^{2}$

$4 x$

$π$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$13$

$2 x^{4}$

$\frac{8 x^{3}}{3}$

$\frac{2 x^{2} π}{3}$

Etapa 6.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$\frac{2 x^{2}}{3}$

$3 x^{2}$

$4 x$

$π$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$13$

$2 x^{4}$

$\frac{8 x^{3}}{3}$

$\frac{2 x^{2} π}{3}$

$\frac{8 x^{3}}{3}$

$\frac{2 x^{2} π}{3}$

Etapa 6.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$\frac{2 x^{2}}{3}$

$3 x^{2}$

$4 x$

$π$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$13$

$2 x^{4}$

$\frac{8 x^{3}}{3}$

$\frac{2 x^{2} π}{3}$

$\frac{8 x^{3}}{3}$

$\frac{2 x^{2} π}{3}$

$2 x$

Etapa 6.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $\frac{8 x^{3}}{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{3}$

$\frac{8 x}{9}$

$3 x^{2}$

$4 x$

$π$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$13$

$2 x^{4}$

$\frac{8 x^{3}}{3}$

$\frac{2 x^{2} π}{3}$

$\frac{8 x^{3}}{3}$

$\frac{2 x^{2} π}{3}$

$2 x$

Etapa 6.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$\frac{2 x^{2}}{3}$

$\frac{8 x}{9}$

$3 x^{2}$

$4 x$

$π$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$13$

$2 x^{4}$

$\frac{8 x^{3}}{3}$

$\frac{2 x^{2} π}{3}$

$\frac{8 x^{3}}{3}$

$\frac{2 x^{2} π}{3}$

$2 x$

$\frac{8 x^{3}}{3}$

$\frac{32 x^{2}}{9}$

$\frac{8 x π}{9}$

Etapa 6.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $\frac{8 x^{3}}{3} - \frac{32 x^{2}}{9} + \frac{8 x π}{9}$ .

$\frac{2 x^{2}}{3}$

$\frac{8 x}{9}$

$3 x^{2}$

$4 x$

$π$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$13$

$2 x^{4}$

$\frac{8 x^{3}}{3}$

$\frac{2 x^{2} π}{3}$

$\frac{8 x^{3}}{3}$

$\frac{2 x^{2} π}{3}$

$2 x$

$\frac{8 x^{3}}{3}$

$\frac{32 x^{2}}{9}$

$\frac{8 x π}{9}$

Etapa 6.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$\frac{2 x^{2}}{3}$

$\frac{8 x}{9}$

$3 x^{2}$

$4 x$

$π$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$13$

$2 x^{4}$

$\frac{8 x^{3}}{3}$

$\frac{2 x^{2} π}{3}$

$\frac{8 x^{3}}{3}$

$\frac{2 x^{2} π}{3}$

$2 x$

$\frac{8 x^{3}}{3}$

$\frac{32 x^{2}}{9}$

$\frac{8 x π}{9}$

$\frac{2 x^{2} π}{3}$

$2 x$

$\frac{8 x π}{9}$

Etapa 6.11

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- \frac{2 x^{2} π}{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{3}$

$\frac{8 x}{9}$

$\frac{2 π}{9}$

$3 x^{2}$

$4 x$

$π$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$13$

$2 x^{4}$

$\frac{8 x^{3}}{3}$

$\frac{2 x^{2} π}{3}$

$\frac{8 x^{3}}{3}$

$\frac{2 x^{2} π}{3}$

$2 x$

$\frac{8 x^{3}}{3}$

$\frac{32 x^{2}}{9}$

$\frac{8 x π}{9}$

$\frac{2 x^{2} π}{3}$

$2 x$

$\frac{8 x π}{9}$

Etapa 6.12

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$\frac{2 x^{2}}{3}$

$\frac{8 x}{9}$

$\frac{2 π}{9}$

$3 x^{2}$

$4 x$

$π$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$13$

$2 x^{4}$

$\frac{8 x^{3}}{3}$

$\frac{2 x^{2} π}{3}$

$\frac{8 x^{3}}{3}$

$\frac{2 x^{2} π}{3}$

$2 x$

$\frac{8 x^{3}}{3}$

$\frac{32 x^{2}}{9}$

$\frac{8 x π}{9}$

$\frac{2 x^{2} π}{3}$

$2 x$

$\frac{8 x π}{9}$

$\frac{2 π x^{2}}{3}$

$\frac{8 π x}{9}$

$\frac{2 π^{2}}{9}$

Etapa 6.13

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- \frac{2 π x^{2}}{3} + \frac{8 π x}{9} - \frac{2 π^{2}}{9}$ .

$\frac{2 x^{2}}{3}$

$\frac{8 x}{9}$

$\frac{2 π}{9}$

$3 x^{2}$

$4 x$

$π$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$13$

$2 x^{4}$

$\frac{8 x^{3}}{3}$

$\frac{2 x^{2} π}{3}$

$\frac{8 x^{3}}{3}$

$\frac{2 x^{2} π}{3}$

$2 x$

$\frac{8 x^{3}}{3}$

$\frac{32 x^{2}}{9}$

$\frac{8 x π}{9}$

$\frac{2 x^{2} π}{3}$

$2 x$

$\frac{8 x π}{9}$

$\frac{2 π x^{2}}{3}$

$\frac{8 π x}{9}$

$\frac{2 π^{2}}{9}$

Etapa 6.14

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$\frac{2 x^{2}}{3}$

$\frac{8 x}{9}$

$\frac{2 π}{9}$

$3 x^{2}$

$4 x$

$π$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$13$

$2 x^{4}$

$\frac{8 x^{3}}{3}$

$\frac{2 x^{2} π}{3}$

$\frac{8 x^{3}}{3}$

$\frac{2 x^{2} π}{3}$

$2 x$

$\frac{8 x^{3}}{3}$

$\frac{32 x^{2}}{9}$

$\frac{8 x π}{9}$

$\frac{2 x^{2} π}{3}$

$2 x$

$\frac{8 x π}{9}$

$\frac{2 π x^{2}}{3}$

$\frac{8 π x}{9}$

$\frac{2 π^{2}}{9}$

$2 x$

$\frac{8 x π}{9}$

$\frac{2 π^{2}}{9}$

Etapa 6.15

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\frac{2 x^{2}}{3} + \frac{8 x}{9} - \frac{2 π}{9} + \frac{- 2 x - \frac{8 x π}{9} + \frac{2 π^{2}}{9}}{3 x^{2} - 4 x + π}$

Etapa 6.16

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = \frac{2 x^{2}}{3} + \frac{8 x}{9} - \frac{2 π}{9}$

Etapa 7

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Nenhuma assíntota vertical

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = \frac{2 x^{2}}{3} + \frac{8 x}{9} - \frac{2 π}{9}$

Etapa 8