Pré-cálculo Exemplos

$- 25 x^{2} + 200 x + 9 y^{2} - 90 y - 400 = 0$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da hipérbole.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Some $400$ aos dois lados da equação.

$- 25 x^{2} + 200 x + 9 y^{2} - 90 y = 400$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $- 25 x^{2} + 200 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 25$

$b = 200$

$c = 0$

Etapa 1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{200}{2 \cdot - 25}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $200$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Fatore $2$ de $200$ .

$d = \frac{2 \cdot 100}{2 \cdot - 25}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot - 25$ .

$d = \frac{2 \cdot 100}{2 (- 25)}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 100}{2 \cdot - 25}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{100}{- 25}$

Etapa 1.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $100$ e $- 25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.1

Fatore $25$ de $100$ .

$d = \frac{25 (4)}{- 25}$

Etapa 1.2.3.2.2.2

Mova o número negativo do denominador de $\frac{4}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 4$

Etapa 1.2.3.2.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$d = - 4$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{200^{2}}{4 \cdot - 25}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Eleve $200$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{40000}{4 \cdot - 25}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 25$ .

$e = 0 - \frac{40000}{- 100}$

Etapa 1.2.4.2.1.3

Divida $40000$ por $- 100$ .

$e = 0 - - 400$

Etapa 1.2.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 400$ .

$e = 0 + 400$

Etapa 1.2.4.2.2

Some $0$ e $400$ .

$e = 400$

Etapa 1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- 25 {(x - 4)}^{2} + 400$ .

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 400$

Etapa 1.3

Substitua $- 25 {(x - 4)}^{2} + 400$ por $- 25 x^{2} + 200 x$ na equação $- 25 x^{2} + 200 x + 9 y^{2} - 90 y = 400$ .

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 400 + 9 y^{2} - 90 y = 400$

Etapa 1.4

Mova $400$ para o lado direito da equação, somando $400$ aos dois lados.

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 y^{2} - 90 y = 400 - 400$

Etapa 1.5

Complete o quadrado de $9 y^{2} - 90 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 9$

$b = - 90$

$c = 0$

Etapa 1.5.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.5.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 90}{2 \cdot 9}$

Etapa 1.5.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 90$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 90$ .

$d = \frac{2 \cdot - 45}{2 \cdot 9}$

Etapa 1.5.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 45}{2 (9)}$

Etapa 1.5.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 45}{2 \cdot 9}$

Etapa 1.5.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 45}{9}$

Etapa 1.5.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 45$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.2.1

Fatore $9$ de $- 45$ .

$d = \frac{9 \cdot - 5}{9}$

Etapa 1.5.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.2.2.1

Fatore $9$ de $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 5}{9 (1)}$

Etapa 1.5.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{9 \cdot - 5}{9 \cdot 1}$

Etapa 1.5.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 5}{1}$

Etapa 1.5.3.2.2.2.4

Divida $- 5$ por $1$ .

$d = - 5$

Etapa 1.5.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 90)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Etapa 1.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1.1

Eleve $- 90$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{8100}{4 \cdot 9}$

Etapa 1.5.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $9$ .

$e = 0 - \frac{8100}{36}$

Etapa 1.5.4.2.1.3

Divida $8100$ por $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 225$

Etapa 1.5.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $225$ .

$e = 0 - 225$

Etapa 1.5.4.2.2

Subtraia $225$ de $0$ .

$e = - 225$

Etapa 1.5.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $9 {(y - 5)}^{2} - 225$ .

$9 {(y - 5)}^{2} - 225$

Etapa 1.6

Substitua $9 {(y - 5)}^{2} - 225$ por $9 y^{2} - 90 y$ na equação $- 25 x^{2} + 200 x + 9 y^{2} - 90 y = 400$ .

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} - 225 = 400 - 400$

Etapa 1.7

Mova $- 225$ para o lado direito da equação, somando $225$ aos dois lados.

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} = 400 - 400 + 225$

Etapa 1.8

Simplifique $400 - 400 + 225$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Subtraia $400$ de $400$ .

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} = 0 + 225$

Etapa 1.8.2

Some $0$ e $225$ .

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} = 225$

Etapa 1.9

Divida cada termo por $225$ para que o lado direito seja igual a um.

$- \frac{25 {(x - 4)}^{2}}{225} + \frac{9 {(y - 5)}^{2}}{225} = \frac{225}{225}$

Etapa 1.10

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{{(y - 5)}^{2}}{25} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{9} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma hipérbole. Use-a para determinar os valores usados para encontrar as assíntotas da hipérbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta hipérbole com os da forma padrão. A variável $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem, $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem, $a$ .

$a = 5$

$b = 3$

$k = 5$

$h = 4$

Etapa 4

As assíntotas seguem a forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , porque esta hipérbole se abre para cima e para baixo.

$y = \pm \frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$

Etapa 5

Simplifique para encontrar a primeira assíntota.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Remova os parênteses.

$y = \frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$

Etapa 5.2

Simplifique $\frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$y = \frac{5}{3} \cdot (x - 4) + 5$

Etapa 5.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{5}{3} x + \frac{5}{3} \cdot - 4 + 5$

Etapa 5.2.1.3

Combine $\frac{5}{3}$ e $x$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{5}{3} \cdot - 4 + 5$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $\frac{5}{3} \cdot - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.4.1

Combine $\frac{5}{3}$ e $- 4$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{5 \cdot - 4}{3} + 5$

Etapa 5.2.1.4.2

Multiplique $5$ por $- 4$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 20}{3} + 5$

Etapa 5.2.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{20}{3} + 5$

Etapa 5.2.2

Para escrever $5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{20}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 5.2.3

Combine $5$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{20}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3}$

Etapa 5.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 20 + 5 \cdot 3}{3}$

Etapa 5.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.1

Multiplique $5$ por $3$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 20 + 15}{3}$

Etapa 5.2.5.2

Some $- 20$ e $15$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 5}{3}$

Etapa 5.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}$

Etapa 6

Simplifique para encontrar a segunda assíntota.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Remova os parênteses.

$y = - \frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$

Etapa 6.2

Simplifique $- \frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$y = - \frac{5}{3} \cdot (x - 4) + 5$

Etapa 6.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = - \frac{5}{3} x - \frac{5}{3} \cdot - 4 + 5$

Etapa 6.2.1.3

Combine $x$ e $\frac{5}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} - \frac{5}{3} \cdot - 4 + 5$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $- \frac{5}{3} \cdot - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.4.1

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} + 4 (\frac{5}{3}) + 5$

Etapa 6.2.1.4.2

Combine $4$ e $\frac{5}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} + \frac{4 \cdot 5}{3} + 5$

Etapa 6.2.1.4.3

Multiplique $4$ por $5$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} + \frac{20}{3} + 5$

Etapa 6.2.1.5

Mova $5$ para a esquerda de $x$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3} + 5$

Etapa 6.2.2

Para escrever $5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 6.2.3

Combine $5$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3}$

Etapa 6.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20 + 5 \cdot 3}{3}$

Etapa 6.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.5.1

Multiplique $5$ por $3$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20 + 15}{3}$

Etapa 6.2.5.2

Some $20$ e $15$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{35}{3}$

Etapa 7

Essa hipérbole tem duas assíntotas.

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}, y = - \frac{5 x}{3} + \frac{35}{3}$

Etapa 8

As assíntotas são $y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}$ e $y = - \frac{5 x}{3} + \frac{35}{3}$ .

Assíntotas: $y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}, y = - \frac{5 x}{3} + \frac{35}{3}$

Etapa 9