Pré-cálculo Exemplos

$\frac{3 x + 6 y}{x^{2} - y^{2}} \div \frac{5 x + 10 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2}}$

Etapa 1

Defina o denominador em $\frac{3 x + 6 y}{x^{2} - y^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} - y^{2} = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Some $y^{2}$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = y^{2}$

Etapa 2.2

Como os expoentes são iguais, as bases deles nos dois lados da equação devem ser iguais.

$| x | = | y |$

Etapa 2.3

Resolva $x$ .

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Etapa 2.3.1

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$x = \pm | y |$

Etapa 2.3.2

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.3.2.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = | y |$

Etapa 2.3.2.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - | y |$

Etapa 2.3.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = | y |$

$x = - | y |$

$x = | y |$

$x = - | y |$

$x = | y |$

$x = - | y |$

$x = | y |$

$x = - | y |$

Etapa 3

Defina o denominador em $\frac{5 x + 10 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} - 2 x y + y^{2} = 0$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 2 y$ e $c = y^{2}$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot y^{2})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.3

Simplifique.

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Etapa 4.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.1.1

Reescreva $4 \cdot 1 \cdot y^{2}$ como ${(2 \cdot 1 y)}^{2}$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - {(2 \cdot (1 y))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.3.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = - 2 y$ e $b = 2 \cdot 1 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(- 2 y + 2 \cdot (1 y)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.3.1.3

Simplifique.

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Etapa 4.3.1.3.1

Fatore $2 y$ de $- 2 y + 2 \cdot 1 y$ .

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Etapa 4.3.1.3.1.1

Fatore $2 y$ de $- 2 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 y (- 1) + 2 \cdot (1 y)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.3.1.3.1.2

Fatore $2 y$ de $2 \cdot 1 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 y (- 1) + 2 y (1)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.3.1.3.1.3

Fatore $2 y$ de $2 y (- 1) + 2 y (1)$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{2 y (- 1 + 1) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.3.1.3.2

Some $- 1$ e $1$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{2 y \cdot (0 (- 2 y - (2 \cdot (1 y))))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.3.1.3.3

Combine expoentes.

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Etapa 4.3.1.3.3.1

Multiplique $0$ por $2$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 y (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.3.1.3.3.2

Multiplique $0$ por $y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.3.1.3.4

Fatore $y$ de $- 2 y - 1 \cdot 2 \cdot 1 y$ .

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Etapa 4.3.1.3.4.1

Fatore $y$ de $- 2 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y \cdot - 2 - 1 \cdot 2 \cdot (1 y))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.3.1.3.4.2

Fatore $y$ de $- 1 \cdot 2 \cdot 1 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.3.1.3.4.3

Fatore $y$ de $y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 2 \cdot 1)$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 1 \cdot 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.3.1.3.5

Multiplique $- 1 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Etapa 4.3.1.3.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.3.1.3.5.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 2))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.3.1.3.6

Subtraia $2$ de $- 2$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 y \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.3.1.3.7

Combine expoentes.

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Etapa 4.3.1.3.7.1

Multiplique $0$ por $y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.3.1.3.7.2

Multiplique $0$ por $- 4$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.3.1.4

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.3.1.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{2 y \pm 0}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.3.1.6

Mais ou menos $2 y$ $0$ é $2 y$ .

$x = \frac{2 y}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 y}{2}$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.3.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2 y}{2}$

Etapa 4.3.3.2

Divida $y$ por $1$ .

$x = y$

Etapa 4.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

Raízes duplas de $x = y$

Etapa 5

Defina o denominador em $\frac{3 x + 6 y}{x^{2} - y^{2}} \div \frac{5 x + 10 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\frac{5 x + 10 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2}} = 0$

Etapa 6

Resolva $x$ .

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Etapa 6.1

Defina o numerador como igual a zero.

$5 x + 10 y = 0$

Etapa 6.2

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 6.2.1

Subtraia $10 y$ dos dois lados da equação.

$5 x = - 10 y$

Etapa 6.2.2

Divida cada termo em $5 x = - 10 y$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 6.2.2.1

Divida cada termo em $5 x = - 10 y$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 10 y}{5}$

Etapa 6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 6.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 10 y}{5}$

Etapa 6.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 10 y}{5}$

Etapa 6.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.2.3.1

Cancele o fator comum de $- 10$ e $5$ .

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Etapa 6.2.2.3.1.1

Fatore $5$ de $- 10 y$ .

$x = \frac{5 (- 2 y)}{5}$

Etapa 6.2.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.2.2.3.1.2.1

Fatore $5$ de $5$ .

$x = \frac{5 (- 2 y)}{5 (1)}$

Etapa 6.2.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{5 (- 2 y)}{5 \cdot 1}$

Etapa 6.2.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{- 2 y}{1}$

Etapa 6.2.2.3.1.2.4

Divida $- 2 y$ por $1$ .

$x = - 2 y$

Etapa 7

O domínio consiste em números reais apenas.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$