Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 5 \sqrt{x}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 5 \sqrt{x}$ como uma equação.

$y = 5 \sqrt{x}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = 5 \sqrt{y}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $5 \sqrt{y} = x$ .

$5 \sqrt{y} = x$

Etapa 3.2

Divida cada termo em $5 \sqrt{y} = x$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 3.2.1

Divida cada termo em $5 \sqrt{y} = x$ por $5$ .

$\frac{5 \sqrt{y}}{5} = \frac{x}{5}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 \sqrt{y}}{5} = \frac{x}{5}$

Etapa 3.2.2.1.2

Divida $\sqrt{y}$ por $1$ .

$\sqrt{y} = \frac{x}{5}$

Etapa 3.3

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{y}}^{2} = {(\frac{x}{5})}^{2}$

Etapa 3.4

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 3.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{x}{5})}^{2}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Simplifique ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{5})}^{2}$

Etapa 3.4.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{5})}^{2}$

Etapa 3.4.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{1} = {(\frac{x}{5})}^{2}$

Etapa 3.4.2.1.2

Simplifique.

$y = {(\frac{x}{5})}^{2}$

Etapa 3.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.3.1

Simplifique ${(\frac{x}{5})}^{2}$ .

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Etapa 3.4.3.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{x}{5}$ .

$y = \frac{x^{2}}{5^{2}}$

Etapa 3.4.3.1.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{25}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{25}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{25}$ é o inverso de $f (x) = 5 \sqrt{x}$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (5 \sqrt{x})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{{(5 \sqrt{x})}^{2}}{25}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.3.1

Aplique a regra do produto a $5 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{5^{2} {\sqrt{x}}^{2}}{25}$

Etapa 5.2.3.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 {\sqrt{x}}^{2}}{25}$

Etapa 5.2.3.3

Reescreva ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Etapa 5.2.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{25}$

Etapa 5.2.3.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{25}$

Etapa 5.2.3.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 x^{\frac{2}{2}}}{25}$

Etapa 5.2.3.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.3.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 x^{\frac{2}{2}}}{25}$

Etapa 5.2.3.3.4.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 x}{25}$

Etapa 5.2.3.3.5

Simplifique.

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 x}{25}$

Etapa 5.2.4

Cancele o fator comum de $25$ .

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Etapa 5.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = \frac{25 x}{25}$

Etapa 5.2.4.2

Divida $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt{x}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{x^{2}}{25})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{25}) = 5 \sqrt{\frac{x^{2}}{25}}$

Etapa 5.3.3

Remova os parênteses.

$f (\frac{x^{2}}{25}) = 5 \sqrt{\frac{x^{2}}{25}}$

Etapa 5.3.4

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{25}) = 5 \sqrt{\frac{x^{2}}{5^{2}}}$

Etapa 5.3.5

Reescreva $\frac{x^{2}}{5^{2}}$ como ${(\frac{x}{5})}^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{25}) = 5 \sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2}}$

Etapa 5.3.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (\frac{x^{2}}{25}) = 5 (\frac{x}{5})$

Etapa 5.3.7

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 5.3.7.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{x^{2}}{25}) = 5 (\frac{x}{5})$

Etapa 5.3.7.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{x^{2}}{25}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{25}$ é o inverso de $f (x) = 5 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{25}$