Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 2}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 2}$ é indefinida.

$x = - 2$

Etapa 2

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 3

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Etapa 4

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 5

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x + 2}$

Etapa 5.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 2}$

Etapa 5.2

Expanda $(x + 1) (x - 1)$ .

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Etapa 5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (x - 1) + 1 (x - 1)}{x + 2}$

Etapa 5.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)}{x + 2}$

Etapa 5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}{x + 2}$

Etapa 5.2.4

Reordene $x$ e $- 1$ .

$\frac{x \cdot x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x + 2}$

Etapa 5.2.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x \cdot x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x + 2}$

Etapa 5.2.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x \cdot x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x + 2}$

Etapa 5.2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{1 + 1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x + 2}$

Etapa 5.2.8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x + 2}$

Etapa 5.2.9

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - 1 x + x + 1 \cdot - 1}{x + 2}$

Etapa 5.2.10

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - 1 x + x - 1}{x + 2}$

Etapa 5.2.11

Some $- 1 x$ e $x$ .

$\frac{x^{2} + 0 - 1}{x + 2}$

Etapa 5.2.12

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x + 2}$

Etapa 5.3

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Etapa 5.4

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x$
	$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$

Etapa 5.5

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$

Etapa 5.6

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} + 2 x$ .

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$

Etapa 5.7

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$

Etapa 5.8

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	-	$1$

Etapa 5.9

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 2 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x$	-	$2$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	-	$1$

Etapa 5.10

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x$	-	$2$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	-	$1$
					-	$2 x$	-	$4$

Etapa 5.11

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 2 x - 4$ .

				$x$	-	$2$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	-	$1$
					+	$2 x$	+	$4$

Etapa 5.12

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x$	-	$2$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	-	$1$
					+	$2 x$	+	$4$
							+	$3$

Etapa 5.13

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$x - 2 + \frac{3}{x + 2}$

Etapa 5.14

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = x - 2$

Etapa 6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = - 2$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = x - 2$

Etapa 7