Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 8 x^{3}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 8 x^{3}$ como uma equação.

$y = 8 x^{3}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = 8 y^{3}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $8 y^{3} = x$ .

$8 y^{3} = x$

Etapa 3.2

Divida cada termo em $8 y^{3} = x$ por $8$ e simplifique.

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Etapa 3.2.1

Divida cada termo em $8 y^{3} = x$ por $8$ .

$\frac{8 y^{3}}{8} = \frac{x}{8}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $8$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8 y^{3}}{8} = \frac{x}{8}$

Etapa 3.2.2.1.2

Divida $y^{3}$ por $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{8}$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{8}}$

Etapa 3.4

Simplifique $\sqrt[3]{\frac{x}{8}}$ .

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Etapa 3.4.1

Reescreva $\frac{x}{8}$ como ${(\frac{1}{2})}^{3} x$ .

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Etapa 3.4.1.1

Fatore a potência perfeita $1^{3}$ de $x$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} x}{8}}$

Etapa 3.4.1.2

Fatore a potência perfeita $2^{3}$ de $8$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} x}{2^{3} \cdot 1}}$

Etapa 3.4.1.3

Reorganize a fração $\frac{1^{3} x}{2^{3} \cdot 1}$ .

$y = \sqrt[3]{{(\frac{1}{2})}^{3} x}$

Etapa 3.4.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{1}{2} \sqrt[3]{x}$

Etapa 3.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sqrt[3]{x}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ é o inverso de $f (x) = 8 x^{3}$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (8 x^{3})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (8 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3}}}{2}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.3.1

Reescreva $8 x^{3}$ como ${(2 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (8 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{{(2 x)}^{3}}}{2}$

Etapa 5.2.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$f^{- 1} (8 x^{3}) = \frac{2 x}{2}$

Etapa 5.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (8 x^{3}) = \frac{2 x}{2}$

Etapa 5.2.4.2

Divida $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (8 x^{3}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2})}^{3}$

Etapa 5.3.3

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{{\sqrt[3]{x}}^{3}}{2^{3}})$

Etapa 5.3.4

Reescreva ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ como $x$ .

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Etapa 5.3.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}})$

Etapa 5.3.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}})$

Etapa 5.3.4.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

Etapa 5.3.4.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.3.4.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

Etapa 5.3.4.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x}{2^{3}})$

Etapa 5.3.4.5

Simplifique.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x}{2^{3}})$

Etapa 5.3.5

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x}{8})$

Etapa 5.3.6

Cancele o fator comum de $8$ .

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Etapa 5.3.6.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x}{8})$

Etapa 5.3.6.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ é o inverso de $f (x) = 8 x^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$