Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{x} + 10$ ; find $f^{- 1} (x)$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \sqrt{x} + 10$ como uma equação.

$y = \sqrt{x} + 10$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \sqrt{y} + 10$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\sqrt{y} + 10 = x$ .

$\sqrt{y} + 10 = x$

Etapa 3.2

Subtraia $10$ dos dois lados da equação.

$\sqrt{y} = x - 10$

Etapa 3.3

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{y}}^{2} = {(x - 10)}^{2}$

Etapa 3.4

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 3.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 10)}^{2}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.2.1

Simplifique ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.4.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 10)}^{2}$

Etapa 3.4.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 10)}^{2}$

Etapa 3.4.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{1} = {(x - 10)}^{2}$

Etapa 3.4.2.1.2

Simplifique.

$y = {(x - 10)}^{2}$

Etapa 3.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.3.1

Simplifique ${(x - 10)}^{2}$ .

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Etapa 3.4.3.1.1

Reescreva ${(x - 10)}^{2}$ como $(x - 10) (x - 10)$ .

$y = (x - 10) (x - 10)$

Etapa 3.4.3.1.2

Expanda $(x - 10) (x - 10)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.4.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = x (x - 10) - 10 (x - 10)$

Etapa 3.4.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = x \cdot x + x \cdot - 10 - 10 (x - 10)$

Etapa 3.4.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = x \cdot x + x \cdot - 10 - 10 x - 10 \cdot - 10$

Etapa 3.4.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.4.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = x^{2} + x \cdot - 10 - 10 x - 10 \cdot - 10$

Etapa 3.4.3.1.3.1.2

Mova $- 10$ para a esquerda de $x$ .

$y = x^{2} - 10 \cdot x - 10 x - 10 \cdot - 10$

Etapa 3.4.3.1.3.1.3

Multiplique $- 10$ por $- 10$ .

$y = x^{2} - 10 x - 10 x + 100$

Etapa 3.4.3.1.3.2

Subtraia $10 x$ de $- 10 x$ .

$y = x^{2} - 20 x + 100$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 20 x + 100$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = x^{2} - 20 x + 100$ é o inverso de $f (x) = \sqrt{x} + 10$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\sqrt{x} + 10)$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = {(\sqrt{x} + 10)}^{2} - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Etapa 5.2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.1

Reescreva ${(\sqrt{x} + 10)}^{2}$ como $(\sqrt{x} + 10) (\sqrt{x} + 10)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = (\sqrt{x} + 10) (\sqrt{x} + 10) - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Etapa 5.2.3.2

Expanda $(\sqrt{x} + 10) (\sqrt{x} + 10)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.2.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = \sqrt{x} (\sqrt{x} + 10) + 10 (\sqrt{x} + 10) - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Etapa 5.2.3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 (\sqrt{x} + 10) - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Etapa 5.2.3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Etapa 5.2.3.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.2.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.3.1.1

Multiplique $\sqrt{x} \sqrt{x}$ .

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Etapa 5.2.3.3.1.1.1

Eleve $\sqrt{x}$ à potência de $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Etapa 5.2.3.3.1.1.2

Eleve $\sqrt{x}$ à potência de $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Etapa 5.2.3.3.1.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = {\sqrt{x}}^{1 + 1} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Etapa 5.2.3.3.1.1.4

Some $1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = {\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Etapa 5.2.3.3.1.2

Reescreva ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Etapa 5.2.3.3.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Etapa 5.2.3.3.1.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Etapa 5.2.3.3.1.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Etapa 5.2.3.3.1.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.3.3.1.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Etapa 5.2.3.3.1.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Etapa 5.2.3.3.1.2.5

Simplifique.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + \sqrt{x} \cdot 10 + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Etapa 5.2.3.3.1.3

Mova $10$ para a esquerda de $\sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 10 \cdot \sqrt{x} + 10 \sqrt{x} + 10 \cdot 10 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Etapa 5.2.3.3.1.4

Multiplique $10$ por $10$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 10 \sqrt{x} + 10 \sqrt{x} + 100 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Etapa 5.2.3.3.2

Some $10 \sqrt{x}$ e $10 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 20 \sqrt{x} + 100 - 20 (\sqrt{x} + 10) + 100$

Etapa 5.2.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 20 \sqrt{x} + 100 - 20 \sqrt{x} - 20 \cdot 10 + 100$

Etapa 5.2.3.5

Multiplique $- 20$ por $10$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 20 \sqrt{x} + 100 - 20 \sqrt{x} - 200 + 100$

Etapa 5.2.4

Simplifique somando os termos.

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Etapa 5.2.4.1

Combine os termos opostos em $x + 20 \sqrt{x} + 100 - 20 \sqrt{x} - 200 + 100$ .

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Etapa 5.2.4.1.1

Subtraia $20 \sqrt{x}$ de $20 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 0 + 100 - 200 + 100$

Etapa 5.2.4.1.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 100 - 200 + 100$

Etapa 5.2.4.2

Subtraia $200$ de $100$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x - 100 + 100$

Etapa 5.2.4.3

Combine os termos opostos em $x - 100 + 100$ .

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Etapa 5.2.4.3.1

Some $- 100$ e $100$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x + 0$

Etapa 5.2.4.3.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 10) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (x^{2} - 20 x + 100)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (x^{2} - 20 x + 100) = \sqrt{x^{2} - 20 x + 100} + 10$

Etapa 5.3.3

Remova os parênteses.

$f (x^{2} - 20 x + 100) = \sqrt{x^{2} - 20 x + 100} + 10$

Etapa 5.3.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.4.1

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 5.3.4.1.1

Reescreva $100$ como $10^{2}$ .

$f (x^{2} - 20 x + 100) = \sqrt{x^{2} - 20 x + 10^{2}} + 10$

Etapa 5.3.4.1.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$20 x = 2 \cdot x \cdot 10$

Etapa 5.3.4.1.3

Reescreva o polinômio.

$f (x^{2} - 20 x + 100) = \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 10 + 10^{2}} + 10$

Etapa 5.3.4.1.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 10$ .

$f (x^{2} - 20 x + 100) = \sqrt{{(x - 10)}^{2}} + 10$

Etapa 5.3.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (x^{2} - 20 x + 100) = x - 10 + 10$

Etapa 5.3.5

Combine os termos opostos em $x - 10 + 10$ .

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Etapa 5.3.5.1

Some $- 10$ e $10$ .

$f (x^{2} - 20 x + 100) = x + 0$

Etapa 5.3.5.2

Some $x$ e $0$ .

$f (x^{2} - 20 x + 100) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = x^{2} - 20 x + 100$ é o inverso de $f (x) = \sqrt{x} + 10$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 20 x + 100$