Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 10 \sqrt[4]{x}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 10 \sqrt[4]{x}$ como uma equação.

$y = 10 \sqrt[4]{x}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = 10 \sqrt[4]{y}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $10 \sqrt[4]{y} = x$ .

$10 \sqrt[4]{y} = x$

Etapa 3.2

Divida cada termo em $10 \sqrt[4]{y} = x$ por $10$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Divida cada termo em $10 \sqrt[4]{y} = x$ por $10$ .

$\frac{10 \sqrt[4]{y}}{10} = \frac{x}{10}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{10 \sqrt[4]{y}}{10} = \frac{x}{10}$

Etapa 3.2.2.1.2

Divida $\sqrt[4]{y}$ por $1$ .

$\sqrt[4]{y} = \frac{x}{10}$

Etapa 3.3

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve os dois lados da equação à $4$ ª potência.

${\sqrt[4]{y}}^{4} = {(\frac{x}{10})}^{4}$

Etapa 3.4

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[4]{y}$ como $y^{\frac{1}{4}}$ .

${(y^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(\frac{x}{10})}^{4}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Simplifique ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(\frac{x}{10})}^{4}$

Etapa 3.4.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(\frac{x}{10})}^{4}$

Etapa 3.4.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{1} = {(\frac{x}{10})}^{4}$

Etapa 3.4.2.1.2

Simplifique.

$y = {(\frac{x}{10})}^{4}$

Etapa 3.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Simplifique ${(\frac{x}{10})}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{x}{10}$ .

$y = \frac{x^{4}}{10^{4}}$

Etapa 3.4.3.1.2

Eleve $10$ à potência de $4$ .

$y = \frac{x^{4}}{10000}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{4}}{10000}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{x^{4}}{10000}$ é o inverso de $f (x) = 10 \sqrt[4]{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = \frac{{(10 \sqrt[4]{x})}^{4}}{10000}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Aplique a regra do produto a $10 \sqrt[4]{x}$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = \frac{10^{4} {\sqrt[4]{x}}^{4}}{10000}$

Etapa 5.2.3.2

Eleve $10$ à potência de $4$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = \frac{10000 {\sqrt[4]{x}}^{4}}{10000}$

Etapa 5.2.3.3

Reescreva ${\sqrt[4]{x}}^{4}$ como $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[4]{x}$ como $x^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = \frac{10000 {(x^{\frac{1}{4}})}^{4}}{10000}$

Etapa 5.2.3.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = \frac{10000 x^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{10000}$

Etapa 5.2.3.3.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $4$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = \frac{10000 x^{\frac{4}{4}}}{10000}$

Etapa 5.2.3.3.4

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = \frac{10000 x^{\frac{4}{4}}}{10000}$

Etapa 5.2.3.3.4.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = \frac{10000 x}{10000}$

Etapa 5.2.3.3.5

Simplifique.

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = \frac{10000 x}{10000}$

Etapa 5.2.4

Cancele o fator comum de $10000$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = \frac{10000 x}{10000}$

Etapa 5.2.4.2

Divida $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (10 \sqrt[4]{x}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{x^{4}}{10000})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{x^{4}}{10000}) = 10 \sqrt[4]{\frac{x^{4}}{10000}}$

Etapa 5.3.3

Remova os parênteses.

$f (\frac{x^{4}}{10000}) = 10 \sqrt[4]{\frac{x^{4}}{10000}}$

Etapa 5.3.4

Reescreva $10000$ como $10^{4}$ .

$f (\frac{x^{4}}{10000}) = 10 \sqrt[4]{\frac{x^{4}}{10^{4}}}$

Etapa 5.3.5

Reescreva $\frac{x^{4}}{10^{4}}$ como ${(\frac{x}{10})}^{4}$ .

$f (\frac{x^{4}}{10000}) = 10 \sqrt[4]{{(\frac{x}{10})}^{4}}$

Etapa 5.3.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (\frac{x^{4}}{10000}) = 10 (\frac{x}{10})$

Etapa 5.3.7

Cancele o fator comum de $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.7.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{x^{4}}{10000}) = 10 (\frac{x}{10})$

Etapa 5.3.7.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{x^{4}}{10000}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{x^{4}}{10000}$ é o inverso de $f (x) = 10 \sqrt[4]{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{4}}{10000}$